Schrijver:
Peter Berry
Datum Van Creatie:
13 Juli- 2021
Updatedatum:
1 Juli- 2024
Inhoud
Wanneer twee lijnen elkaar kruisen op een tweedimensionaal coördinatensysteem, ontmoeten ze elkaar alleen op één punt dat wordt weergegeven door het x- en y-coördinatenpaar. Aangezien beide lijnen door dat punt gaan, moeten de x- en y-coördinatenparen aan beide vergelijkingen voldoen. Met enkele aanvullende technieken kun je het snijpunt van de parabool en andere kwadratische curven vinden door hetzelfde argument uit te voeren.
Stappen
Methode 1 van 2: Zoek het snijpunt van twee lijnen
Schrijf de vergelijking voor elke regel met y aan de linkerkant. Verander indien nodig de vergelijking zodat alleen y aan één kant van het gelijkteken staat. Als de vergelijking f (x) of g (x) gebruikt in plaats van y, scheid deze term dan. Onthoud dat u termen kunt annuleren door aan beide kanten dezelfde wiskunde uit te voeren.
- Als het probleem de vergelijkingen niet toont, zoek ze dan op in de beschikbare informatie.
- Bijvoorbeeld: Twee lijnen hebben vergelijkingen van en. In de tweede vergelijking, voor de linkerkant om alleen y te hebben, tel je 12 op aan beide kanten:
Maak de rechterkant van de twee vergelijkingen gelijk. We zoeken een punt waar twee lijnen dezelfde x-, y-coördinaat hebben; Dit is waar twee lijnen elkaar kruisen. Beide vergelijkingen hebben alleen y aan de linkerkant, dus hun rechterkant zal hetzelfde zijn. Schrijf een nieuwe vergelijking om dit aan te tonen.- Bijvoorbeeld: We weten het en daarom.
Los op voor X. De nieuwe vergelijking heeft slechts één variabele x. Vergelijkingen oplossen met behulp van de algebraïsche methode betekent aan beide kanten dezelfde wiskunde uitvoeren. Converteer alle termen met x naar één kant van de vergelijking en converteer ze vervolgens naar x = __. (Als u dit niet kunt, scrolt u naar het einde van dit gedeelte).- Bijvoorbeeld:
- Voeg toe aan twee kanten:
- Trek 3 van twee kanten af:
- Verdeel de twee kanten door 3:
- .
Gebruik de x-waarde om y te vinden. Selecteer de vergelijking van een van de twee lijnen. Steek de waarde van x gevonden in deze vergelijking. Los voor y op met een rekenkundige methode.- Bijvoorbeeld: en
Bekijk het resultaat. U moet de x-waarde in de andere vergelijking vervangen om te zien of u hetzelfde resultaat krijgt. Als u een andere y-waarde krijgt, moet u uw werk controleren.
- Bijvoorbeeld: en
- Dus we krijgen dezelfde waarde van y. De oplossing bevat geen fouten.
Schrijf een paar coördinaten x, y van het snijpunt. Je hebt nu een paar x- en y-coördinaten gevonden waar twee lijnen elkaar kruisen. Schrijf dit punt in coördinaten, met de x-waarde ervoor.
- Bijvoorbeeld: en
- De twee lijnen kruisen elkaar bij (3,6).
Omgaan met ongebruikelijke gevallen. Sommige vergelijkingen kunnen niet worden opgelost om x te vinden. Dit is niet noodzakelijk omdat u een fout heeft gemaakt. Vergelijkingen van lijnparen kunnen in de volgende twee gevallen een ongebruikelijke oplossing hebben:
- Als de twee lijnen parallel zijn, snijden ze elkaar niet. De termen x worden onderdrukt en de vergelijking wordt vereenvoudigd tot een valse bewering (bijvoorbeeld). Schrijf het antwoord als 'de twee lijnen snijden elkaar niet"of"er is geen echte oplossing’.
- Als twee vergelijkingen dezelfde lijn vertegenwoordigen, 'snijden' ze elkaar op alle punten. De termen x worden geëlimineerd en de vergelijking wordt vereenvoudigd tot een waar (bijvoorbeeld) statement. Schrijf het antwoord als 'de twee lijnen overlappen elkaar’.
Methode 2 van 2: Rekenproblemen met kwadratische vergelijkingen
Herken kwadratische vergelijkingen. In een kwadratische vergelijking hebben een of meer variabelen machten (of) en geen variabelen hebben hogere machten. De grafieken van deze vergelijkingen zijn curven, dus ze kunnen de lijn op 0, 1 of 2 punten knippen. Dit gedeelte helpt u bij het vinden van die kruispunten in de opgave.
- Uitbreiding van vergelijkingen tussen haakjes om te controleren of ze kwadratisch zijn. Er is bijvoorbeeld een kwadratische vorm omdat deze wordt uitgebreid naar
- Vergelijkingen van cirkels en ellipsen hebben beide termijn en. Raadpleeg de onderstaande tips als u problemen heeft met deze speciale gevallen.
Schrijf vergelijkingen volgens y. Verwissel indien nodig elke vergelijking zodat alleen y aan één kant van het gelijkteken staat.
- Bijvoorbeeld: Zoek de kruising van en.
- Herschrijf de kwadratische vergelijking over y:
- en.
- Dit voorbeeld heeft een kwadratische vergelijking en een lineaire vergelijking. Problemen met twee kwadratische vergelijkingen worden op dezelfde manier opgelost.
Combineer twee vergelijkingen om y op te heffen. Nadat u twee vergelijkingen naar y heeft geconverteerd, zijn beide zijden zonder y gelijk.
- Bijvoorbeeld: en
Transformeer de nieuwe vergelijking zodat één zijde nul is. Gebruik de algebraïsche methode om alle termen naar één kant te converteren. Het probleem is dus klaar om in de volgende stap te worden opgelost.
- Bijvoorbeeld:
- Trek x van twee kanten af:
- Trek 7 af van twee kanten:
Los kwadratische vergelijkingen op. Nadat je bent overgeschakeld naar de nulvergelijking, heb je drie oplossingen en het is aan jou welke je kiest. U kunt leren hoe u de kwadratische formule of de "kwadratische complement" -methode gebruikt, of bekijk de volgende voorbeelden van factorisatie:
- Bijvoorbeeld:
- Het doel van factorisatie is om twee factoren te vinden die, wanneer ze worden vermenigvuldigd, een vergelijking creëren. Beginnend met de eerste term, weten we dat deze kan worden ontleed in x en x. Schrijf als (x) (x) = 0.
- De laatste term is -6. Maak een lijst van elk paar factoren die gelijk zijn aan -6: ,,, en wanneer ze worden vermenigvuldigd.
- De term in het midden is x (kan worden geschreven als 1x). Tel elke factor bij elkaar op totdat u een resultaat krijgt van 1. Het paar factoren is correct, omdat.
- Voer dit factorpaar in de lege velden in uw antwoord in :.
Merk op dat we twee oplossingen hebben x. Als u het te snel oplost, vindt u misschien maar één oplossing en beseft u niet dat er een tweede oplossing is. Hier leest u hoe u twee oplossingen x vindt voor de lijnen die twee punten snijden:
- Bijvoorbeeld (factoranalyse): Eindelijk hebben we de vergelijking. Als een van beide factoren 0 is, is aan de vergelijking voldaan. Een oplossing is →. De andere oplossing is →.
- Bijvoorbeeld (vierkantswortelformule of kwadraat-complement): als u een van deze manieren gebruikt om de vergelijking op te lossen, verschijnt het vierkantswortelteken. De vergelijking wordt bijvoorbeeld. Onthoud dat het vierkantswortelnummer eenvoudig in twee verschillende oplossingen kan worden omgezet: en . Schrijf voor elk geval twee vergelijkingen en los de bijbehorende x op.
Los problemen op met één oplossing of geen oplossing. Twee lijnen die elkaar tegelijk ontmoeten, hebben slechts één kruising, en twee lijnen die elkaar nooit raken, hebben geen kruising. Hier leest u hoe:
- Eén oplossing: het probleem kan worden onderverdeeld in twee identieke factoren ((x-1) (x-1) = 0). Bij het vervangen van de kwadratische formule heeft de term de wortel. U hoeft maar één vergelijking op te lossen.
- Geen echte oplossingen: geen enkele factor kan aan de vereiste voldoen (som door de term in het midden). Als je de kwadratische formule vervangt, heb je een negatief getal onder de vierkantswortel (bijvoorbeeld). Schrijf het antwoord als "geen oplossing".
Vervang x-waarden in de oorspronkelijke vergelijking. Nadat u de x-waarde van het snijpunt hebt, vervangt u deze door een van de oorspronkelijke vergelijkingen. Los op om de waarde van y te vinden. Als je twee x-waarden hebt, los dan twee y-waarden op.
- Bijvoorbeeld: We vinden twee oplossingen, en. Een van de twee lijnen heeft de vergelijking. Vervang en, los vervolgens elke vergelijking op om en te vinden.
Schrijf puntcoördinaten. Schrijf nu uw antwoorden als coördinaten volgens de x- en y-waarden van het snijpunt. Als u twee antwoorden heeft, vergeet dan niet de waarden x en y in paren te schrijven.
- Bijvoorbeeld: Wanneer we in plaats daarvan hebben, dus de kruising heeft coördinaten (2, 9). Doe hetzelfde voor de tweede oplossing die de coördinaten van het andere kruispunt geeft (-3, 4).
Advies
- De vergelijkingen van cirkels en ellipsen hebben een term en een klasse. Om het snijpunt van de cirkel en de lijn te vinden, los je x op in een lineaire vergelijking. Vervang de oplossing door x in de cirkelvergelijking en je hebt een kwadratisch dat gemakkelijker op te lossen is. Deze problemen kunnen 0, 1 of 2 oplossingen hebben, zoals beschreven in de bovenstaande methode.
- Een cirkel en een parabool (of ander kwadratisch) kunnen 0, 1, 2, 3 of 4 oplossingen hebben. Zoek de variabele met de macht 2 in beide vergelijkingen - zeg x. Los uw oplossing op en vervang deze in de andere vergelijking. Los op voor y om 0, 1 of 2 oplossingen te krijgen. Vervang elke oplossing terug naar de oorspronkelijke kwadratische vergelijking om x op te lossen. Elk van deze vergelijkingen kan 0, 1 of 2 oplossingen hebben.
