Hoe matrices te verdelen

Video: 1. Q light controller plus Getting started with QLC+. Fixtures and functions

Inhoud

Korte samenvatting
Stappen
Deel 1 van 3: De deelbaarheid van matrices testen
Deel 2 van 3: De inverse matrix vinden
Deel 3 van 3: Matrixvermenigvuldiging
Tips
Waarschuwingen
Aanvullende artikelen

Als je weet hoe je twee matrices moet vermenigvuldigen, kun je beginnen met het "delen" van de matrices. Het woord "deling" staat tussen aanhalingstekens, omdat matrices eigenlijk niet kunnen worden gedeeld. De delingsbewerking wordt vervangen door de bewerking van het vermenigvuldigen van één matrix met een matrix die de inverse is van de tweede matrix. Beschouw voor de eenvoud een voorbeeld met gehele getallen: 10 ÷ 5. Vind het omgekeerde van 5: 5 of /₅, en vervang dan deling door vermenigvuldiging: 10 x 5; het resultaat van deling en vermenigvuldiging zal hetzelfde zijn. Daarom wordt aangenomen dat deling kan worden vervangen door vermenigvuldiging met de inverse matrix. Typisch worden dergelijke berekeningen gebruikt om stelsels lineaire vergelijkingen op te lossen.

Korte samenvatting

Je kunt matrices niet delen. In plaats van te delen wordt één matrix vermenigvuldigd met de inverse van de tweede matrix. "Deling" van twee matrices [A] ÷ [B] wordt als volgt geschreven: [A] * [B] of [B] * [A].
Als matrix [B] niet vierkant is, of als de determinant 0 is, noteer dan "geen eenduidige oplossing". Zoek anders de determinant van de matrix [B] en ga naar de volgende stap.
Zoek de inverse: [B].
Vermenigvuldig matrices om [A] * [B] of [B] * [A] te vinden. Houd er rekening mee dat de volgorde waarin de matrices worden vermenigvuldigd, van invloed is op het uiteindelijke resultaat (dat wil zeggen dat de resultaten kunnen variëren).

Stappen

Deel 1 van 3: De deelbaarheid van matrices testen

1 Begrijp de "verdeling" van matrices. In feite kunnen matrices niet worden verdeeld. Er bestaat niet zo'n wiskundige bewerking als "de ene matrix delen door de andere". Deling wordt vervangen door één matrix te vermenigvuldigen met de inverse van de tweede matrix. Dat wil zeggen, de notatie [A] ÷ [B] is niet correct, dus wordt deze vervangen door de volgende notatie: [A] * [B]. Aangezien beide items equivalent zijn in het geval van scalaire waarden, kunnen we in theorie spreken over "deling" van matrices, maar het is nog steeds beter om de juiste terminologie te gebruiken.
- Merk op dat [A] * [B] en [B] * [A] verschillende bewerkingen zijn. Het kan nodig zijn om beide bewerkingen uit te voeren om alle mogelijke oplossingen te vinden.
- Bijvoorbeeld, in plaats van ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 einde {pmatrix}} div { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 einde {pmatrix}}}$ Schrijf op ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 einde {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 einde {pmatrix}} ^ {- 1} }$ .
  Mogelijk moet u rekenen ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} }$ om een ander resultaat te krijgen.
2 Zorg ervoor dat de matrix waarmee u de andere matrix "deelt", vierkant is. Om een matrix om te keren (vind de inverse van een matrix), moet deze vierkant zijn, dat wil zeggen, met hetzelfde aantal rijen en kolommen. Als de omgekeerde matrix niet invers is, is er geen definitieve oplossing.
- Nogmaals, de matrices zijn hier niet "deelbaar". In bewerking [A] * [B] verwijst de beschreven toestand naar de matrix [B]. In ons voorbeeld verwijst deze voorwaarde naar de matrix ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 einde {pmatrix}}}$
- Een matrix die kan worden omgekeerd, wordt niet-gedegenereerd of regulier genoemd. Een matrix die niet kan worden omgekeerd, wordt gedegenereerd of enkelvoud genoemd.
3 Controleer of de twee matrices kunnen worden vermenigvuldigd. Om twee matrices te vermenigvuldigen, moet het aantal kolommen in de eerste matrix gelijk zijn aan het aantal rijen in de tweede matrix. Als in de entry [A] * [B] of [B] * [A] niet aan deze voorwaarde wordt voldaan, is er geen oplossing.
- Als de grootte van de matrix [A] bijvoorbeeld 4 x 3 is en de grootte van de matrix [B] 2 x 2, is er geen oplossing. Je kunt [A] * [B] niet vermenigvuldigen omdat 4 ≠ 2, en je kunt [B] * [A] niet vermenigvuldigen omdat 2 ≠ 3.
- Merk op dat de inverse matrix [B] altijd hetzelfde aantal rijen en kolommen heeft als de oorspronkelijke matrix [B]. Het is niet nodig om de inverse matrix te vinden om te controleren of twee matrices kunnen worden vermenigvuldigd.
- In ons voorbeeld is de grootte van beide matrices 2 x 2, dus ze kunnen in willekeurige volgorde worden vermenigvuldigd.
4 Zoek de determinant van de 2 × 2 matrix. Onthoud: je kunt een matrix alleen omkeren als de determinant niet nul is (anders kun je de matrix niet omkeren). Zo vind je de determinant van een 2 x 2 matrix:
- 2 x 2 Matrix: determinant van een matrix ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$ is gelijk aan ad - bc. Dat wil zeggen, van het product van de elementen van de hoofddiagonaal (passeert door de linkerboven- en rechterbenedenhoek), trek de producten van de elementen van de andere diagonaal af (gaat door de rechterboven- en linkerbenedenhoek).
- Bijvoorbeeld de determinant van de matrix ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 einde {pmatrix}}}$ is gelijk aan (7) (3) - (4) (2) = 21 - 8 = 13. De determinant is niet nul, dus deze matrix kan worden omgekeerd.
5 Vind de determinant van de grotere matrix. Als de grootte van de matrix 3 x 3 of meer is, is de determinant iets moeilijker te berekenen.
- 3 x 3 matrix: selecteer een item en doorstreep de rij en kolom waarin het zich bevindt.Zoek de determinant van de resulterende 2 × 2-matrix en vermenigvuldig deze vervolgens met het geselecteerde element; specificeer het teken van de determinant in een speciale tabel. Herhaal dit proces voor de andere twee items die in dezelfde rij of kolom staan als het item dat u hebt geselecteerd. Zoek vervolgens de som van de (drie) ontvangen determinanten. Lees dit artikel voor meer informatie over het vinden van de determinant van een 3 x 3 matrix.
- Grote matrices: de determinant van dergelijke matrices kan het beste worden gezocht met een grafische rekenmachine of software. De methode is vergelijkbaar met de methode voor het vinden van de determinant van een 3 × 3 matrix, maar het is nogal omslachtig om deze handmatig toe te passen. Om bijvoorbeeld de determinant van een 4 x 4-matrix te vinden, moet u de determinanten van vier 3 x 3-matrices vinden.
6 Ga door met rekenen. Als de matrix niet vierkant is of als de determinant gelijk is aan nul, schrijf dan "geen eenduidige oplossing", dat wil zeggen, het rekenproces is voltooid. Als de matrix vierkant is en een niet-nuldeterminant heeft, ga dan naar de volgende sectie.

Deel 2 van 3: De inverse matrix vinden

1 Verwissel de elementen van de hoofddiagonaal van de 2 x 2 matrix. Gegeven een 2 × 2 matrix, gebruik de snelle inverse methode. Verwissel eerst het element linksboven en het element rechtsonder. Bijvoorbeeld:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 einde {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 einde {pmatrix}}}$
- Opmerking: de meeste mensen gebruiken rekenmachines om een matrix van 3 x 3 (of groter) om te keren. Als u dit handmatig moet doen, gaat u naar het einde van dit gedeelte.
2 Verwissel de overige twee elementen niet, maar verander hun teken. Dat wil zeggen, vermenigvuldig het element rechtsboven en het element linksonder met -1:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 einde {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 einde {pmatrix}}}$
3 Vind het omgekeerde van de determinant. De determinant van deze matrix is gevonden in de vorige paragraaf, dus we zullen deze niet opnieuw berekenen. De inverse van de determinant wordt als volgt geschreven: 1 / (determinant):
- In ons voorbeeld is de determinant 13. Omgekeerde waarde: ${ displaystyle { frac {1} {13}}}$ .
4 Vermenigvuldig de resulterende matrix met het omgekeerde van de determinant. Vermenigvuldig elk element van de nieuwe matrix met de inverse van de determinant. De uiteindelijke matrix is de inverse van de oorspronkelijke 2 x 2 matrix:
- ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 einde {pmatrix}}}$
  = ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} einde {pmatrix}}}$
5 Controleer of de berekeningen correct zijn. Om dit te doen, vermenigvuldigt u de oorspronkelijke matrix met zijn inverse. Als de berekeningen correct zijn, geeft het product van de oorspronkelijke matrix door de inverse de identiteitsmatrix: (1001){ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 einde {pmatrix}}}... Als de test succesvol was, gaat u verder met het volgende gedeelte.
- In ons voorbeeld: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} einde {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 einde {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 einde {pmatrix}}}$ .
- Lees dit artikel voor meer informatie over het vermenigvuldigen van matrices.
- Opmerking: de bewerking van matrixvermenigvuldiging is niet commutatief, dat wil zeggen dat de volgorde van de matrices belangrijk is. Maar wanneer de oorspronkelijke matrix wordt vermenigvuldigd met zijn inverse, leidt elke volgorde tot de identiteitsmatrix.
6 Vind de inverse van een 3 x 3 matrix (of groter). Als u al bekend bent met dit proces, kunt u beter een grafische rekenmachine of speciale software gebruiken. Als u de inverse matrix handmatig moet vinden, wordt het proces hieronder kort beschreven:
- Sluit je aan bij de identiteitsmatrix I aan de rechterkant van de originele matrix. Bijvoorbeeld [B] → [B | I]. Voor de identiteitsmatrix zijn alle elementen van de hoofddiagonaal gelijk aan 1, en alle andere elementen zijn gelijk aan 0.
- Vereenvoudig de matrix zodat de linkerkant getrapt wordt; ga door met vereenvoudigen zodat de linkerkant de identiteitsmatrix wordt.
- Na vereenvoudiging ziet de matrix er als volgt uit: [I | B]. Dat wil zeggen, de rechterkant is de inverse van de oorspronkelijke matrix.

Deel 3 van 3: Matrixvermenigvuldiging

1 Schrijf twee mogelijke uitdrukkingen op. De bewerking van het vermenigvuldigen van twee scalairen is commutatief, dat wil zeggen 2 x 6 = 6 x 2.Dit is niet het geval in het geval van matrixvermenigvuldiging, dus het kan zijn dat je twee uitdrukkingen moet oplossen:
- x = [A] * [B] is de oplossing van de vergelijking x[B] = [A].
- x = [B] * [A] is de oplossing van vergelijking [B]x = [A].
- Voer elke wiskundige bewerking uit aan beide kanten van de vergelijking. Als [A] = [C] dan is [B] [A] ≠ [C] [B] omdat [B] links van [A] maar rechts van [C] is.
2 Bepaal de grootte van de uiteindelijke matrix. De grootte van de uiteindelijke matrix hangt af van de grootte van de vermenigvuldigde matrices. Het aantal rijen in de uiteindelijke matrix is gelijk aan het aantal rijen in de eerste matrix, en het aantal kolommen in de uiteindelijke matrix is gelijk aan het aantal kolommen in de tweede matrix.
- In ons voorbeeld is de grootte van beide matrices ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 einde {pmatrix}}}$ en ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} einde {pmatrix}}}$ is 2 x 2, dus de grootte van de oorspronkelijke matrix is 2 x 2.
- Overweeg een complexer voorbeeld: als de grootte van de matrix [A] is 4 x 3, en de grootte van de matrix [B] is 3 x 3, dan is de uiteindelijke matrix [A] * [B] 4 x 3.
3 Zoek de waarde van het eerste element. Lees dit artikel of onthoud de volgende basisstappen:
- Om het eerste element (eerste rij, eerste kolom) van de uiteindelijke matrix [A] [B] te vinden, berekent u het puntproduct van de elementen van de eerste rij van matrix [A] en de elementen van de eerste kolom van matrix [B] ]. In het geval van een 2 x 2 matrix wordt het puntproduct als volgt berekend: ${ displaystyle a_ {1,1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$ .
- In ons voorbeeld: ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 einde {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}}}$ ... Het eerste element van de uiteindelijke matrix is dus het element:
  ${ displaystyle (13 * { frac {3} {13}}) + (26 * { frac {-2} {13}})}$
  ${ weergavestijl = 3 + -4}$
  ${ weergavestijl = -1}$
4 Ga door met het berekenen van puntproducten om elk element van de uiteindelijke matrix te vinden. Het element in de tweede rij en de eerste kolom is bijvoorbeeld gelijk aan het puntproduct van de tweede rij van de matrix [A] en de eerste kolom van de matrix [B]. Probeer zelf de overige items te vinden. U zou de volgende resultaten moeten krijgen:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 einde {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -1 & 10 7 & -5 eind {pmatrix}}}$
- Als u een andere oplossing moet vinden: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} einde {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 einde {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -9 & 2 19 & 3 einde {pmatrix}}}$

Tips

De matrix kan worden onderverdeeld in een scalair; hiervoor wordt elk element van de matrix gedeeld door een scalair.
- Als bijvoorbeeld de matrix ${ displaystyle { begin {pmatrix} 6 & 8 2 & 4 einde {pmatrix}}}$ gedeeld door 2, krijg je de matrix ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 1 & 2 einde {pmatrix}}}$

Waarschuwingen

De rekenmachine geeft niet altijd absoluut nauwkeurige resultaten als het gaat om matrixberekeningen. Als de rekenmachine bijvoorbeeld beweert dat het item een heel klein getal is (zoals 2E), is de waarde hoogstwaarschijnlijk nul.