Inhoud

• Stappen
• Methode 1 van 3: De helling van de vergelijking van een lijn berekenen
• Methode 2 van 3: Bereken de helling met twee punten
• Methode 3 van 3: Differentiaalrekening gebruiken om de helling te berekenen

De helling kenmerkt de hellingshoek van de rechte lijn tot de as van de abscis (de helling is numeriek gelijk aan de tangens van deze hoek). De helling is aanwezig in de vergelijking van een rechte lijn en wordt gebruikt in de wiskundige analyse van krommen, waar deze altijd gelijk is aan de afgeleide van een functie. Om het gemakkelijker te maken om de helling te begrijpen, stelt u zich voor dat deze de veranderingssnelheid van de functie beïnvloedt, dat wil zeggen, hoe groter de waarde van de helling, hoe groter de waarde van de functie (voor dezelfde waarde van de onafhankelijke variabele).

Stappen

Methode 1 van 3: De helling van de vergelijking van een lijn berekenen

1. 1 Gebruik de helling om de hoek van de lijn met de abscis en de richting van die lijn te vinden. Het berekenen van de helling is vrij eenvoudig als je de vergelijking van een rechte lijn krijgt. Onthoud dat in elke vergelijking met een rechte lijn:
   • Geen exponenten
   • Er zijn slechts twee variabelen, waarvan geen enkele een breuk is (bijvoorbeeld: ${ displaystyle { frac {1} {x}}}$)
   • De lineaire vergelijking heeft de vorm ${ weergavestijl y = kx + b}$, waarbij k en b numerieke coëfficiënten zijn (bijvoorbeeld 3, 10, -12, ${ weergavestijl { frac {4} {3}}}$).
2. 2 Om de helling te vinden, moet u de waarde van k vinden (coëfficiënt bij "x"). Als de aan u gegeven vergelijking de vorm heeft ${ weergavestijl y = kx + b}$, en om de helling te vinden, hoeft u alleen maar naar het nummer voor de "x" te kijken. Merk op dat k (helling) altijd bij de onafhankelijke variabele is (in dit geval "x"). Als je in de war bent, bekijk dan de volgende voorbeelden:
   • ${ weergavestijl y = 2x + 6}$
     • Helling = 2
   • ${ weergavestijl y = 2-x}$
     • Helling = -1
   • ${ weergavestijl y = { frac {3} {8}} x-10}$
     • Helling = ${ weergavestijl { frac {3} {8}}}$
3. 3 Als de aan u gegeven vergelijking een andere vorm heeft dan ja=kx+B{ weergavestijl y = kx + b}, isoleer de afhankelijke variabele. In de meeste gevallen wordt de afhankelijke variabele aangeduid als "y", en om deze te isoleren, kunt u bewerkingen uitvoeren zoals optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en andere. Onthoud dat elke wiskundige bewerking aan beide kanten van de vergelijking moet worden uitgevoerd (om de oorspronkelijke waarde niet te wijzigen). U moet elke aan u gegeven vergelijking naar het formulier brengen ${ weergavestijl y = kx + b}$... Laten we een voorbeeld bekijken:
   • Vind de helling van de vergelijking ${ weergavestijl 2j-3 = 8x + 7}$
   • Het is noodzakelijk om deze vergelijking in de vorm te brengen ${ weergavestijl y = kx + b}$:
     • ${ weergavestijl 2j-3 (+3) = 8x + 7 (+3)}$
     • ${ weergavestijl 2j = 8x + 10}$
     • ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {8x + 10} {2}}}$
     • ${ weergavestijl y = 4x + 5}$
   • De helling vinden:
     • Helling = k = 4

Methode 2 van 3: Bereken de helling met twee punten

1. 1 Gebruik de grafiek en twee punten om de helling te berekenen. Als je net een grafiek van een functie hebt gekregen (geen vergelijking), kun je de helling nog steeds vinden. Om dit te doen, heb je de coördinaten van twee willekeurige punten op deze grafiek nodig; coördinaten worden vervangen in de formule: ${ displaystyle { frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}}$... Houd rekening met het volgende om fouten bij het berekenen van de helling te voorkomen:
   • Als de grafiek stijgt, is de helling positief.
   • Als de grafiek daalt, is de helling negatief.
   • Hoe hoger de hellingswaarde, hoe steiler de grafiek (en vice versa).
   • De helling van een rechte lijn evenwijdig aan de as van de abscis is 0.
   • De helling van een rechte lijn evenwijdig aan de ordinaat bestaat niet (hij is oneindig).
2. 2 Zoek de coördinaten van twee punten. Markeer in de grafiek twee willekeurige punten en vind hun coördinaten (x, y). Punten A (2.4) en B (6.6) staan ​​bijvoorbeeld in de grafiek.
   • In een paar coördinaten komt het eerste cijfer overeen met "x" en het tweede met "y".
   • Elke waarde "x" komt overeen met een bepaalde waarde "y".
3. 3 gelijk x₁, ja₁, x₂, ja₂ naar de bijbehorende waarden. In ons voorbeeld met de punten A (2,4) en B (6,6):
   • x₁: 2
   • ja₁: 4
   • x₂: 6
   • ja₂: 6
4. 4 Steek de gevonden waarden in de hellingsformule. Om de helling te vinden, worden de coördinaten van twee punten gebruikt en wordt de volgende formule gebruikt: ${ displaystyle { frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}}$... Vul de coördinaten van twee punten in.
   • Twee punten: A (2.4) en B (6.6).
   • Vervang de coördinaten van de punten in de formule:
     • ${ weergavestijl { frac {6-4} {6-2}}}$
   • Vereenvoudig voor een definitief antwoord:
     • ${ displaystyle { frac {2} {4}} = { frac {1} {2}}}$ = Helling
5. 5 Verklaring van de essentie van de formule. De helling is gelijk aan de verhouding van de verandering in de "y"-coördinaat (twee punten) tot de verandering in de "x"-coördinaat (twee punten). Coördinatenverandering is het verschil tussen de waarden van de corresponderende coördinaat van het eerste en tweede punt.
6. 6 Een ander soort formule voor het berekenen van de helling. De standaardformule voor het berekenen van de helling is: k = ${ displaystyle { frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}}$... Maar het kan de volgende vorm hebben: k = Δy / Δx, waarbij Δ de Griekse letter "delta" is die het verschil in wiskunde aangeeft. Dat wil zeggen, Δx = x_2 - x_1, en Δy = y_2 - y_1.

Methode 3 van 3: Differentiaalrekening gebruiken om de helling te berekenen

1. 1 Leer om afgeleiden van functies te nemen. De afgeleide karakteriseert de veranderingssnelheid van een functie op een bepaald punt dat op de grafiek van deze functie ligt. In dit geval kan de grafiek een rechte of een gebogen lijn zijn. Dat wil zeggen, de afgeleide karakteriseert de veranderingssnelheid van de functie op een bepaald moment in de tijd. Onthoud de algemene regels volgens welke derivaten worden genomen, en ga dan pas verder met de volgende stap.
   • Lees het artikel Hoe een derivaat te nemen.
   • Hoe je de eenvoudigste afgeleiden neemt, bijvoorbeeld de afgeleide van de exponentiële vergelijking, wordt in dit artikel beschreven. De berekeningen die in de volgende stappen worden gepresenteerd, zijn gebaseerd op de erin beschreven methoden.
2. 2 Leer onderscheid te maken tussen problemen waarbij de helling moet worden berekend in termen van de afgeleide van een functie. Bij problemen wordt niet altijd voorgesteld om de helling of de afgeleide van een functie te vinden. U kunt bijvoorbeeld worden gevraagd om de veranderingssnelheid van een functie in punt A (x, y) te vinden. Mogelijk wordt u ook gevraagd om de helling van de raaklijn in punt A (x, y) te vinden. In beide gevallen is het nodig om de afgeleide van de functie te nemen.
   • Zoek bijvoorbeeld de helling van een functie ${ weergavestijl f (x) = 2x ^ {2} + 6x}$ bij punt A (4.2).
   • De afgeleide wordt vaak aangeduid als ${ weergavestijl f ’(x), y’,}$ of ${ displaystyle { frac {dy} {dx}}}$
3. 3 Neem de afgeleide van de functie die je hebt gekregen. U hoeft hier geen grafiek te plotten - u hebt alleen de vergelijking van de functie nodig. Neem in ons voorbeeld de afgeleide van de functie ${ weergavestijl f (x) = 2x ^ {2} + 6x}$... Neem de afgeleide volgens de methoden die worden beschreven in het bovengenoemde artikel:
   • Derivaat: ${ weergavestijl f ’(x) = 4x + 6}$
4. 4 Vervang de coördinaten van het gegeven punt in de afgeleide afgeleide om de helling te berekenen. De afgeleide van de functie is gelijk aan de helling op een bepaald punt. Met andere woorden, f '(x) is de helling van de functie op elk punt (x, f (x)). In ons voorbeeld:
   • Vind de helling van de functie ${ weergavestijl f (x) = 2x ^ {2} + 6x}$ bij punt A (4.2).
   • Afgeleide van de functie:
     • ${ weergavestijl f ’(x) = 4x + 6}$
   • Vervang de waarde voor de x-coördinaat van dit punt:
     • ${ weergavestijl f ’(x) = 4 (4) +6}$
   • Zoek de helling:
   • Helling van functie ${ weergavestijl f (x) = 2x ^ {2} + 6x}$ bij punt A (4.2) is 22.
5. 5 Controleer indien mogelijk uw antwoord in de grafiek. Houd er rekening mee dat de helling mogelijk niet op elk punt wordt berekend. Differentiaalrekening houdt rekening met complexe functies en complexe grafieken, waarbij de helling niet op elk punt kan worden berekend en in sommige gevallen de punten helemaal niet op de grafieken liggen. Gebruik indien mogelijk een grafische rekenmachine om te controleren of de helling correct wordt berekend voor de aan u gegeven functie.Trek anders een raaklijn aan de grafiek op het gegeven punt en overweeg of de hellingswaarde die u hebt gevonden overeenkomt met wat u in de grafiek ziet.
   • De raaklijn heeft op een bepaald punt dezelfde helling als de functiegrafiek. Om een ​​raaklijn op een bepaald punt te tekenen, beweegt u naar rechts/links langs de X-as (in ons voorbeeld 22 waarden naar rechts) en vervolgens één eenheid omhoog langs de Y-as. , en verbind het dan met het punt dat aan u is gegeven. Verbind in ons voorbeeld de punten op de coördinaten (4,2) en (26,3).