Inhoud

• Stappen
• Methode 1 van 2: Algebraïsche methode
• Methode 2 van 2: Grafische methode
• Tips
• Een waarschuwing

Functies kunnen even, oneven of algemeen zijn (dat wil zeggen, even of oneven). Het type functie hangt af van de aan- of afwezigheid van symmetrie. De beste manier om het soort functie te bepalen, is door een reeks algebraïsche berekeningen uit te voeren. Maar het type van de functie kan ook worden gevonden door het schema. Door te leren hoe je het soort functies definieert, kun je het gedrag van bepaalde combinaties van functies voorspellen.

Stappen

Methode 1 van 2: Algebraïsche methode

1. 1 Onthoud wat de tegenovergestelde waarden van de variabelen zijn. In de algebra wordt de tegenovergestelde waarde van een variabele geschreven met een "-" (min) teken. Bovendien geldt dit voor elke aanduiding van de onafhankelijke variabele (met de letter ${ weergavestijl x}$ of een andere brief). Als er in de oorspronkelijke functie al een negatief teken voor de variabele staat, dan is de tegengestelde waarde een positieve variabele. Hieronder staan ​​voorbeelden van enkele van de variabelen en hun tegengestelde betekenissen:
   • De tegenovergestelde betekenis voor ${ weergavestijl x}$ is een ${ weergavestijl -x}$.
   • De tegenovergestelde betekenis voor ${ weergavestijl q}$ is een ${ weergavestijl -q}$.
   • De tegenovergestelde betekenis voor ${ weergavestijl -w}$ is een ${ weergavestijl w}$.
2. 2 Vervang de verklarende variabele door zijn tegengestelde waarde. Dat wil zeggen, keer het teken van de onafhankelijke variabele om. Bijvoorbeeld:
   • ${ weergavestijl f (x) = 4x ^ {2} -7}$ verandert in ${ weergavestijl f (-x) = 4 (-x) ^ {2} -7}$
   • ${ weergavestijl g (x) = 5x ^ {5} -2x}$ verandert in ${ weergavestijl g (-x) = 5 (-x) ^ {5} -2 (-x)}$
   • ${ weergavestijl h (x) = 7x ^ {2} + 5x + 3}$ verandert in ${ weergavestijl h (-x) = 7 (-x) ^ {2} +5 (-x) +3}$.
3. 3 Vereenvoudig de nieuwe functie. Op dit moment hoeft u geen specifieke numerieke waarden te vervangen door de onafhankelijke variabele. U hoeft alleen de nieuwe functie f (-x) te vereenvoudigen om deze te vergelijken met de oorspronkelijke functie f (x). Onthoud de basisregel van machtsverheffing: het verhogen van een negatieve variabele tot een even macht zal resulteren in een positieve variabele, en het verhogen van een negatieve variabele tot een oneven macht zal resulteren in een negatieve variabele.
   • ${ weergavestijl f (-x) = 4 (-x) ^ {2} -7}$
     • ${ weergavestijl f (-x) = 4x ^ {2} -7}$
   • ${ weergavestijl g (-x) = 5 (-x) ^ {5} -2 (-x)}$
     • ${ weergavestijl g (-x) = 5 (-x ^ {5}) + 2x}$
     • ${ weergavestijl g (-x) = - 5x ^ {5} + 2x}$
   • ${ weergavestijl h (-x) = 7 (-x) ^ {2} +5 (-x) +3}$
     • ${ weergavestijl h (-x) = 7x ^ {2} -5x + 3}$
4. 4 Vergelijk de twee functies. Vergelijk de vereenvoudigde nieuwe functie f (-x) met de oorspronkelijke functie f (x). Schrijf de corresponderende termen van beide functies onder elkaar en vergelijk hun tekens.
   • Als de tekens van de corresponderende termen van beide functies samenvallen, dat wil zeggen f (x) = f (-x), is de oorspronkelijke functie even. Voorbeeld:
     • ${ weergavestijl f (x) = 4x ^ {2} -7}$ en ${ weergavestijl f (-x) = 4x ^ {2} -7}$.
     • Hier vallen de tekens van de termen samen, dus de oorspronkelijke functie is even.
   • Als de tekens van de corresponderende termen van beide functies tegengesteld zijn aan elkaar, dat wil zeggen f (x) = -f (-x), is de oorspronkelijke functie even. Voorbeeld:
     • ${ weergavestijl g (x) = 5x ^ {5} -2x}$, maar ${ weergavestijl g (-x) = - 5x ^ {5} + 2x}$.
     • Merk op dat als je elke term in de eerste functie vermenigvuldigt met -1, je de tweede functie krijgt. De oorspronkelijke functie g (x) is dus oneven.
   • Als de nieuwe functie niet overeenkomt met een van de bovenstaande voorbeelden, dan is het een algemene functie (dat wil zeggen, even noch oneven). Bijvoorbeeld:
     • ${ weergavestijl h (x) = 7x ^ {2} + 5x + 3}$, maar ${ weergavestijl h (-x) = 7x ^ {2} -5x + 3}$... De tekens van de eerste termen van beide functies zijn hetzelfde, en de tekens van de tweede termen zijn tegengesteld. Daarom is deze functie niet even of oneven.

Methode 2 van 2: Grafische methode

1. 1 Een functiegrafiek plotten. Gebruik hiervoor ruitjespapier of een grafische rekenmachine. Selecteer een veelvoud van de numerieke verklarende variabele waarden ${ weergavestijl x}$ en sluit ze aan op de functie om de waarden van de afhankelijke variabele te berekenen ${ weergavestijl y}$... Teken de gevonden coördinaten van de punten op het coördinatenvlak en verbind deze punten vervolgens om een ​​grafiek van de functie te maken.
   • Vervang positieve numerieke waarden in de functie ${ weergavestijl x}$ en bijbehorende negatieve numerieke waarden. Bijvoorbeeld, gegeven de functie ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} +1}$... Vul de volgende waarden in ${ weergavestijl x}$:
     • ${ displaystyle f (1) = 2 (1) ^ {2} + 1 = 2 + 1 = 3}$... Heb je een punt met coördinaten ${ weergavestijl (1,3)}$.
     • ${ displaystyle f (2) = 2 (2) ^ {2} + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9}$... Heb je een punt met coördinaten ${ weergavestijl (2.9)}$.
     • ${ weergavestijl f (-1) = 2 (-1) ^ {2} + 1 = 2 + 1 = 3}$... Heb je een punt met coördinaten ${ weergavestijl (-1,3)}$.
     • ${ displaystyle f (-2) = 2 (-2) ^ {2} + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9}$... Heb je een punt met coördinaten ${ weergavestijl (-2,9)}$.
2. 2 Controleer of de grafiek van de functie symmetrisch is om de y-as. Symmetrie verwijst naar het spiegelen van de grafiek om de ordinaat-as. Als het deel van de grafiek rechts van de y-as (positieve verklarende variabele) samenvalt met het deel van de grafiek links van de y-as (negatieve waarden van de verklarende variabele), is de grafiek symmetrisch over Als de functie symmetrisch is om de ordinaat, is de functie even.
   • U kunt de symmetrie van de grafiek controleren aan de hand van afzonderlijke punten. Als de waarde ${ weergavestijl y}$wat overeenkomt met de waarde ${ weergavestijl x}$, komt overeen met de waarde ${ weergavestijl y}$wat overeenkomt met de waarde ${ weergavestijl -x}$, de functie is even.In ons voorbeeld met de functie ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} +1}$ we hebben de volgende coördinaten van punten:
     • (1.3) en (-1.3)
     • (2,9) en (-2,9)
   • Merk op dat wanneer x = 1 en x = -1, de afhankelijke variabele y = 3 is, en wanneer x = 2 en x = -2, de afhankelijke variabele y = 9 is. De functie is dus even. Om de exacte vorm van een functie te achterhalen, moet u meer dan twee punten in overweging nemen, maar de beschreven methode is een goede benadering.
3. 3 Controleer of de grafiek van de functie symmetrisch is ten opzichte van de oorsprong. De oorsprong is het punt met coördinaten (0,0). Symmetrie over de oorsprong betekent dat een positieve waarde ${ weergavestijl y}$ (met een positieve waarde ${ weergavestijl x}$) komt overeen met een negatieve waarde ${ weergavestijl y}$ (met een negatieve waarde ${ weergavestijl x}$), en vice versa. Oneven functies zijn symmetrisch over de oorsprong.
   • Als we verschillende positieve en overeenkomstige negatieve waarden in de functie vervangen ${ weergavestijl x}$, waarden ${ weergavestijl y}$ zal in teken verschillen. Bijvoorbeeld, gegeven de functie ${ weergavestijl f (x) = x ^ {3} + x}$... Vervang er meerdere waarden in ${ weergavestijl x}$:
     • ${ displaystyle f (1) = 1 ^ {3} + 1 = 1 + 1 = 2}$... Ik heb een punt met coördinaten (1,2).
     • ${ displaystyle f (-1) = (- 1) ^ {3} + (- 1) = - 1-1 = -2}$... We hebben een punt met coördinaten (-1, -2).
     • ${ weergavestijl f (2) = 2 ^ {3} + 2 = 8 + 2 = 10}$... Ik heb een punt met coördinaten (2,10).
     • ${ displaystyle f (-2) = (- 2) ^ {3} + (- 2) = - 8-2 = -10}$... We hebben een punt met coördinaten (-2, -10).
   • Dus f (x) = -f (-x), dat wil zeggen dat de functie oneven is.
4. 4 Controleer of de grafiek van de functie enige symmetrie heeft. Het laatste type functie is een functie waarvan de grafiek geen symmetrie heeft, dat wil zeggen dat er geen spiegeling is zowel rond de ordinaatas als rond de oorsprong. Bijvoorbeeld, gegeven de functie ${ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 2x + 1}$.
   • Vervang verschillende positieve en overeenkomstige negatieve waarden in de functie ${ weergavestijl x}$:
     • ${ displaystyle f (1) = 1 ^ {2} +2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4}$... Ik heb een punt met coördinaten (1,4).
     • ${ displaystyle f (-1) = (- 1) ^ {2} +2 (-1) + (- 1) = 1-2-1 = -2}$... We hebben een punt met coördinaten (-1, -2).
     • ${ displaystyle f (2) = 2 ^ {2} +2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10}$... Ik heb een punt met coördinaten (2,10).
     • ${ displaystyle f (-2) = (- 2) ^ {2} +2 (-2) + (- 2) = 4-4-2 = -2}$... We hebben een punt met coördinaten (2, -2).
   • Volgens de verkregen resultaten is er geen symmetrie. De waarden ${ weergavestijl y}$ voor tegengestelde waarden ${ weergavestijl x}$ vallen niet samen en zijn niet tegengesteld. De functie is dus niet even of oneven.
   • Merk op dat de functie ${ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 2x + 1}$ kan als volgt worden geschreven: ${ displaystyle f (x) = (x + 1) ^ {2}}$... Wanneer geschreven in deze vorm, lijkt de functie even te zijn omdat er een even exponent aanwezig is. Maar dit voorbeeld bewijst dat het soort functie niet snel kan worden bepaald als de onafhankelijke variabele tussen haakjes staat. In dit geval moet u de haakjes openen en de ontvangen exponenten analyseren.

Tips

• Als de exponent van de onafhankelijke variabele even is, dan is de functie even; als de exponent oneven is, is de functie oneven.

Een waarschuwing

• Dit artikel kan alleen worden toegepast op functies met twee variabelen, waarvan de waarden op het coördinatenvlak kunnen worden uitgezet.