Inhoud

• Stappen
• Deel 1 van 3: Factoring binomials
• Deel 2 van 3: Factoring binomials voor het oplossen van vergelijkingen
• Deel 3 van 3: Complexe problemen oplossen
• Tips
• Waarschuwingen

Een binomiaal (binomiaal) is een wiskundige uitdrukking met twee termen waartussen een plus- of minteken staat, bijvoorbeeld ${ displaystyle bijl + b}$... Het eerste lid bevat de variabele en het tweede lid bevat deze wel of niet. Factoring van een binomiaal omvat het vinden van termen die, wanneer vermenigvuldigd, de oorspronkelijke binomiaal produceren om deze op te lossen of te vereenvoudigen.

Stappen

Deel 1 van 3: Factoring binomials

1. 1 Begrijp de basisprincipes van het factoringproces. Bij het ontbinden van een binomiaal wordt de factor die een deler is van elke term van het oorspronkelijke binomiaal uit de haakjes gehaald. Het getal 6 is bijvoorbeeld volledig deelbaar door 1, 2, 3, 6. De delers van het getal 6 zijn dus de getallen 1, 2, 3, 6.
   • Delers 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
   • De delers van een willekeurig getal zijn 1 en het getal zelf. De delers van 3 zijn bijvoorbeeld 1 en 3.
   • Gehele delers kunnen alleen gehele getallen zijn. Het getal 32 kan worden gedeeld door 3,564 of 21,4952, maar je krijgt dan geen geheel getal, maar een decimale breuk.
2. 2 Bestel de voorwaarden van de binomiaal om het factoringproces te vergemakkelijken. Een binomiaal is de som of het verschil van twee termen, waarvan er ten minste één een variabele bevat. Soms worden variabelen tot een macht verheven, bijvoorbeeld ${ weergavestijl x ^ {2}}$ of ${ weergavestijl 5j ^ {4}}$... Het is beter om de termen van de binomiaal in oplopende volgorde van exponenten te ordenen, dat wil zeggen dat de term met de kleinste exponent eerst wordt geschreven en met de grootste - de laatste. Bijvoorbeeld:
   • ${ weergavestijl 3t + 6}$ → ${ weergavestijl 6 + 3t}$
   • ${ weergavestijl 3x ^ {4} + 9x ^ {2}}$ → ${ weergavestijl 9x ^ {2} + 3x ^ {4}}$
   • ${ weergavestijl x ^ {2} -2}$ → ${ weergavestijl -2 + x ^ {2}}$
     • Let op het minteken voor 2. Als een term wordt afgetrokken, schrijf er dan een minteken voor.
3. 3 Zoek de grootste gemene deler (GCD) van beide termen. GCD is het grootste getal waarmee beide leden van de binomiaal deelbaar zijn. Om dit te doen, zoekt u de delers van elke term in de binomiaal en selecteert u vervolgens de grootste gemene deler. Bijvoorbeeld:
   • Een taak:${ weergavestijl 3t + 6}$.
     • Delers 3: 1, 3
     • Delers 6: 1, 2, 3, 6.
     • GGD = 3.
4. 4 Deel elke term in de binomiaal door de grootste gemene deler (GCD). Doe dit om de GCD te ontbinden. Merk op dat elk lid van de binomiaal kleiner wordt (omdat het deelbaar is), maar als de GCD wordt uitgesloten van de haakjes, zal de uiteindelijke uitdrukking gelijk zijn aan de oorspronkelijke.
   • Een taak:${ weergavestijl 3t + 6}$.
   • Zoek de GCD: 3
   • Deel elke binominale term door ggd:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
5. 5 Verplaats de deler uit de haakjes. Eerder deelde je beide termen van de binomiaal door de deler 3 en kreeg ${ weergavestijl t + 2}$... Maar u kunt 3 niet verwijderen - om ervoor te zorgen dat de waarden van de begin- en einduitdrukkingen gelijk zijn, moet u 3 buiten de haakjes plaatsen en de uitdrukking schrijven die is verkregen als resultaat van de deling tussen haakjes. Bijvoorbeeld:
   • Een taak:${ weergavestijl 3t + 6}$.
   • Zoek de GCD: 3
   • Deel elke binominale term door ggd:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
   • Vermenigvuldig de deler met de resulterende uitdrukking:${ weergavestijl 3 (t + 2)}$
   • Antwoord: ${ weergavestijl 3 (t + 2)}$
6. 6 Kijk je antwoord na. Om dit te doen, vermenigvuldigt u de term vóór de haakjes met elke term binnen de haakjes. Als u de originele binomiaal krijgt, is de oplossing correct. Los nu het probleem op ${ weergavestijl 12t + 18}$:
   • Bestel de leden:${ weergavestijl 18 + 12t}$
   • Zoek de GCD:${ weergavestijl 6}$
   • Deel elke binominale term door ggd:${ displaystyle { frac {18t} {6}} + { frac {12t} {6}} = 3 + 2t}$
   • Vermenigvuldig de deler met de resulterende uitdrukking:${ weergavestijl 6 (3 + 2t)}$
   • Controleer het antwoord:${ weergavestijl (6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t}$

Deel 2 van 3: Factoring binomials voor het oplossen van vergelijkingen

1. 1 Factor de binomiaal om het te vereenvoudigen en de vergelijking op te lossen. Op het eerste gezicht lijkt het onmogelijk om sommige vergelijkingen op te lossen (vooral met complexe binomials). Los bijvoorbeeld de vergelijking op ${ displaystyle 5j-2j ^ {2} = - 3j}$... Er zijn machten in deze vergelijking, dus factoreer eerst de uitdrukking.
   • Een taak:${ displaystyle 5j-2j ^ {2} = - 3j}$
   • Onthoud dat een binomiaal twee leden heeft. Als de uitdrukking meer termen bevat, leer dan hoe u veeltermen oplost.
2. 2 Voeg aan beide zijden van de vergelijking wat monomiaal toe of trek er van af, zodat nul aan één kant van de vergelijking blijft. In het geval van ontbinden in factoren is de oplossing van vergelijkingen gebaseerd op het onveranderlijke feit dat elke uitdrukking vermenigvuldigd met nul gelijk is aan nul. Daarom, als we de vergelijking gelijkstellen aan nul, dan moeten alle factoren gelijk zijn aan nul. Stel één kant van de vergelijking in op 0.
   • Een taak:${ displaystyle 5j-2j ^ {2} = - 3j}$
   • Op nul zetten:${ displaystyle 5j-2j ^ {2} + 3j = -3j + 3j}$
     • ${ weergavestijl 8j-2j ^ {2} = 0}$
3. 3 Factor de resulterende bin. Doe dit zoals beschreven in de vorige paragraaf. Zoek de grootste gemene deler (GCD), deel beide termen van de binomiaal erdoor en verplaats de factor vervolgens uit de haakjes.
   • Een taak:${ displaystyle 5j-2j ^ {2} = - 3j}$
   • Op nul zetten:${ weergavestijl 8j-2j ^ {2} = 0}$
   • Factor:${ weergavestijl 2y (4-y) = 0}$
4. 4 Stel elke factor in op nul. In de resulterende uitdrukking wordt 2y vermenigvuldigd met 4 - y, en dit product is gelijk aan nul. Aangezien elke uitdrukking (of term) vermenigvuldigd met nul nul is, is 2y of 4 - y 0. Stel de resulterende monomiaal en binomiaal in op nul om "y" te vinden.
   • Een taak:${ displaystyle 5j-2j ^ {2} = - 3j}$
   • Op nul zetten:${ displaystyle 8j-2j ^ {2} + 3j = 0}$
   • Factor:${ weergavestijl 2y (4-y) = 0}$
   • Zet beide factoren op 0:
     • ${ weergavestijl 2y = 0}$
     • ${ weergavestijl 4-y = 0}$
5. 5 Los de resulterende vergelijkingen op om het uiteindelijke antwoord (of antwoorden) te vinden. Aangezien elke factor gelijk is aan nul, kan de vergelijking meerdere oplossingen hebben. In ons voorbeeld:
   • ${ weergavestijl 2y = 0}$
     • ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {0} {2}}}$
     • y = 0
   • ${ weergavestijl 4-y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y + y = 0 + y}$
     • y = 4
6. 6 Kijk je antwoord na. Om dit te doen, vervangt u de gevonden waarden in de oorspronkelijke vergelijking. Als de gelijkheid waar is, dan is de beslissing juist. Vervang de gevonden waarden in plaats van "y". In ons voorbeeld, y = 0 en y = 4:
   • ${ weergavestijl 5 (0) -2 (0) ^ {2} = - 3 (0)}$
     • ${ weergavestijl 0 + 0 = 0}$
     • ${ weergavestijl 0 = 0}$Dit is de juiste beslissing
   • ${ weergavestijl 5 (4) -2 (4) ^ {2} = - 3 (4)}$
     • ${ weergavestijl 20-32 = -12}$
     • ${ weergavestijl -12 = -12}$En dit is de juiste beslissing

Deel 3 van 3: Complexe problemen oplossen

1. 1 Onthoud dat een term met een variabele ook kan worden ontbonden, zelfs als de variabele tot een macht wordt verheven. Bij factoring moet je een monomiaal vinden die elk lid van de binomiaal integraal verdeelt. Bijvoorbeeld de monomial ${ weergavestijl x ^ {4}}$ kan worden ontbonden ${ displaystyle x * x * x * x}$... Dat wil zeggen, als de tweede term van de binomiaal ook de variabele "x" bevat, dan kan "x" uit de haakjes worden gehaald. Behandel variabelen dus als gehele getallen. Bijvoorbeeld:
   • Beide leden van de binominale ${ weergavestijl 2t + t ^ {2}}$ bevatten "t", dus "t" kan uit de haakjes worden gehaald: ${ weergavestijl t (2 + t)}$
   • Ook kan een tot een macht verheven variabele uit de beugel worden gehaald. Bijvoorbeeld, beide leden van de binominale ${ weergavestijl x ^ {2} + x ^ {4}}$ bevatten ${ weergavestijl x ^ {2}}$, dus ${ weergavestijl x ^ {2}}$ kan uit de beugel worden gehaald: ${ displaystyle x ^ {2} (1 + x ^ {2})}$
2. 2 Vergelijkbare termen optellen of aftrekken om een ​​binomiaal te krijgen. Bijvoorbeeld, gegeven de uitdrukking ${ weergavestijl 6 + 2x + 14 + 3x}$... Op het eerste gezicht is dit een polynoom, maar in feite kan deze uitdrukking worden omgezet in een binomiaal. Voeg vergelijkbare termen toe: 6 en 14 (bevatten geen variabele) en 2x en 3x (bevatten dezelfde variabele "x"). In dit geval wordt het factoringproces vereenvoudigd:
   • Oorspronkelijke uitdrukking:${ weergavestijl 6 + 2x + 14 + 3x}$
   • Bestel de leden:${ weergavestijl 2x + 3x + 14 + 6}$
   • Voeg vergelijkbare termen toe:${ weergavestijl 5x + 20}$
   • Zoek de GCD:${ weergavestijl 5 (x) +5 (4)}$
   • Factor:${ weergavestijl 5 (x + 4)}$
3. 3 Factor het verschil van perfecte vierkanten. Een perfect vierkant is een getal waarvan de vierkantswortel een geheel getal is, bijvoorbeeld ${ weergavestijl 9}$${ weergavestijl (3 * 3)}$, ${ weergavestijl x ^ {2}}$${ weergavestijl (x * x)}$ en zelfs ${ displaystyle 144t ^ {2}}$${ weergavestijl (12t * 12t)}$... Als de binomiaal het verschil is van perfecte vierkanten, bijvoorbeeld, ${ weergavestijl a ^ {2} -b ^ {2}}$, dan wordt het ontbonden door de formule:
   • Verschil van vierkanten formule:${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a-b)}$
   • Een taak:${ weergavestijl 4x ^ {2} -9}$
   • Extraheer de vierkantswortels:
     • ${ weergavestijl { sqrt {4x ^ {2}}} = 2x}$
     • ${ weergavestijl { sqrt {9}} = 3}$
   • Vervang de gevonden waarden in de formule: ${ weergavestijl 4x ^ {2} -9 = (2x + 3) (2x-3)}$
4. 4 Factor het verschil tussen de volledige kubussen. Als de binomiaal het verschil is van complete kubussen, bijvoorbeeld, ${ weergavestijl a ^ {3} -b ^ {3}}$, dan wordt het ontbonden met behulp van een speciale formule. In dit geval is het noodzakelijk om de derdemachtswortel uit elk lid van de binomiaal te extraheren en de gevonden waarden in de formule te vervangen.
   • De formule voor het verschil tussen kubussen:${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3} = (a-b) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}$
   • Een taak:${ weergavestijl 8x ^ {3} -27}$
   • Extract kubieke wortels:
     • ${ weergavestijl { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ weergavestijl { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Vervang de gevonden waarden in de formule: ${ weergavestijl 8x ^ {3} -27 = (2x-3) (4x ^ {2} + 6x + 9)}$
5. 5 Factor de som van de volledige kubussen. In tegenstelling tot de som van perfecte vierkanten, is de som van complete kubussen bijvoorbeeld ${ weergavestijl a ^ {3} + b ^ {3}}$, kan worden ontbonden met behulp van een speciale formule. Het is vergelijkbaar met de formule voor het verschil tussen kubussen, maar de tekens zijn omgekeerd. De formule is vrij eenvoudig - om het te gebruiken, zoek de som van volledige kubussen in het probleem.
   • De formule voor de som van kubussen:${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2})}$
   • Een taak:${ weergavestijl 8x ^ {3} -27}$
   • Extract kubieke wortels:
     • ${ weergavestijl { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ weergavestijl { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Vervang de gevonden waarden in de formule: ${ weergavestijl 8x ^ {3} -27 = (2x + 3) (4x ^ {2} -6x + 9)}$

Tips

• Soms hebben binominale leden geen gemeenschappelijke deler. Bij sommige taken worden leden in een vereenvoudigde vorm gepresenteerd.
• Als je GCD niet meteen kunt vinden, begin dan met delen door kleine getallen. Als je bijvoorbeeld niet ziet dat de GCD van de getallen 32 en 16 16 is, deel je beide getallen door 2. Je krijgt 16 en 8; deze getallen kunnen worden gedeeld door 8. Nu krijg je 2 en 1; deze aantallen kunnen niet worden verminderd. Het is dus duidelijk dat er een groter getal is (vergeleken met 8 en 2), wat de gemeenschappelijke deler is van de twee gegeven getallen.
• Merk op dat termen van de zesde orde (met een exponent van 6, bijvoorbeeld x) zowel perfecte vierkanten als perfecte kubussen zijn. Dus op binomialen met termen van de zesde orde, bijvoorbeeld x - 64, kan men (in willekeurige volgorde) de formules toepassen voor het verschil van vierkanten en het verschil van kubussen. Maar het is beter om eerst de formule voor het verschil van kwadraten toe te passen om correcter te ontleden met een binomiaal.

Waarschuwingen

• Een binomiaal, de som van perfecte kwadraten, kan niet worden ontbonden.