Inhoud

• Stappen
• Advies

Een kwadratische vergelijking is een polynoom met één variabele waarbij 2 de hoogste exponent van die variabele is. Er zijn drie manieren om kwadratische vergelijkingen op te lossen: 1) factor de vergelijking zo mogelijk in factoren, 2) gebruik de kwadratische formule, of 3) voltooi het kwadraat. Volg deze stappen om te leren hoe u bekwaam kunt worden met deze drie methoden.

Stappen

Methode 1 van 3: Analyse van vergelijkingen in factoren

1. 

   Tel alle dezelfde termen op en verplaats ze naar één kant van de vergelijking. De eerste stap bij factoranalyse is om alle termen opzij te zetten, zodat ze positief zijn. Als u termen wilt combineren, voegt u alle termen, alle termen die deze bevatten en constanten (de termen zijn gehele getallen) toe of trekt u ze af, converteert u ze naar de ene kant en laat u niets achter aan de andere kant. U kunt dan "0" schrijven aan de andere kant van het gelijkteken. Hier is hoe het te doen:

2. 

   
   
   Analyseer de uitdrukking in de factor. Om een ​​uitdrukking te ontbinden, moet u de factoren van de term met (3) en de factoren van de constante (-4) gebruiken om ze te vermenigvuldigen en vervolgens bij de middelste term (-11) optellen. . Hier is hoe het te doen:
   • Aangezien er maar één mogelijke factorreeks is, en, kunt u deze als volgt tussen haakjes herschrijven :.
   • Gebruik vervolgens reductie om de factoren 4 te combineren om de combinatie te vinden die bij vermenigvuldiging -11x maakt. U kunt 4 en 1 of 2 en 2 gebruiken omdat ze allebei een product van 4 hebben. Onthoud alleen dat een factor negatief moet zijn omdat onze term -4 is.
   • Met de testmethode kijken we naar de combinatie van factoren. Wanneer we vermenigvuldiging implementeren, verkrijgen we. Tel de termen bij elkaar op en, we hebben, is de exacte middellange termijn waarnaar we streven. We hebben dus zojuist de kwadratische functie ontbonden.
   • Laten we als voorbeeld van deze test eens kijken naar een defecte (onjuiste) combinatie van: =. Door deze termen te combineren, verkrijgen we. Hoewel het waar is dat -2 en 2 producten hebben die gelijk zijn aan -4, is de term ertussen niet correct, want we hebben hem nodig, niet.

3. 

   
   
   Laat elke uitdrukking tussen haakjes nul zijn als individuele vergelijkingen. Zoek van daaruit twee waarden waarvan de algehele vergelijking gelijk is aan nul = 0. Als je de vergelijking eenmaal hebt ontbonden, hoef je alleen de uitdrukking tussen haakjes nul te plaatsen. Waarom? Dat komt omdat we voor een nulproduct een "principe, wet of eigenschap" hebben dat een factor nul moet zijn. Daarom moet ten minste één waarde tussen haakjes nul zijn; dat wil zeggen (3x + 1) of (x - 4) moet nul zijn. Dus we hebben beide.

4. 

   
   
   Los elk van deze "nul" -vergelijkingen onafhankelijk op. De kwadratische vergelijking heeft twee mogelijke oplossingen. Vind elke mogelijke oplossing voor de variabele x door de variabele te scheiden en de twee oplossingen op te schrijven als het eindresultaat. Hier is hoe:
   • Los 3x + 1 = 0 op
     • Trek twee zijden af: 3x = -1 .....
     • Splits de zijkanten: 3x / 3 = -1/3 .....
     • Samenvouwen: x = -1/3 .....
   • Los x - 4 = 0 op
     • Trek twee kanten af: x = 4 .....
   • Schrijf uw eigen mogelijke oplossingen: x = (-1/3, 4) ....., dat wil zeggen x = -1/3, of x = 4 zijn beide correct.

5. 

   Controleer x = -1/3 in (3x + 1) (x - 4) = 0:
   
   In plaats van een uitdrukking hebben we (3 + 1)( – 4) ?=? 0..... Samenvouwen: (-1 + 1) (- 4 1/3)? =? 0 ..... Voer vermenigvuldiging uit, we krijgen (0) (- 4 1/3) = 0 ..... 0 = 0 ..... Juist, x = -1/3 is een oplossing van vergelijking.

6. 

   Controleer x = 4 in (3x + 1) (x - 4) = 0:
   
   In plaats van een uitdrukking hebben we (3 + 1)( – 4) ?=? 0 ..... Collapse, we krijgen: (13) (4 - 4)? =? 0 ..... Voer vermenigvuldiging uit: (13) (0) = 0 ..... 0 = 0 ..... Juist, x = 4 is een oplossing van de vergelijking.
   • Dus beide mogelijke oplossingen zijn afzonderlijk "getest", en het kan worden bevestigd dat beide het probleem oplossen en twee afzonderlijke echte oplossingen zijn.
   advertentie

Methode 2 van 3: Gebruik de kwadratische formule

1. 

   Voeg allemaal dezelfde termen toe en verplaats ze naar één kant van de vergelijking. Converteer alle termen naar één zijde van het gelijkteken, zodat de term het positieve teken bevat. Herschrijf de termen in aflopende volgorde, wat betekent dat de term eerst komt, gevolgd door en als laatste de constante. Hier is hoe:
   • 4x - 5x - 13 = x -5
   • 4x - x - 5x - 13 +5 = 0
   • 3x - 5x - 8 = 0

2. 

   Schrijf je kwadratische formule op. Dat is:

3. 

   Bepaal de waarden van a, b en c in de kwadratische vergelijking. Uit een is de coëfficiënt van x, b is de coëfficiënt van x en c is een constante. Met de vergelijking 3x -5x - 8 = 0, a = 3, b = -5 en c = -8. Schrijf het op papier.

4. 

   Plug de waarden van a, b en c in de vergelijking. Nu je de waarden van de drie bovenstaande variabelen kent, kun je ze als volgt in de vergelijking opnemen:
   • {-b +/- √ (b - 4ac)} / 2
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - 4(3)(-8))}/2(3) =
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3)

5. 

   Voer berekeningen uit. Nadat u de getallen hebt vervangen, voert u de rest van de berekening uit om de positieve of negatieve tekens te verminderen, de resterende termen te vermenigvuldigen of te kwadrateren. Hier is hoe:
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3) =
   • {5 +/-√(25 + 96)}/6
   • {5 +/-√(121)}/6

6. 

   Vouw de vierkantswortel samen. Als onder het radicale teken een perfect vierkant staat, krijg je een geheel getal. Als het geen perfect vierkant is, reduceer het dan tot zijn eenvoudigste radicale vorm. Als het negatief is, en zorg ervoor dat het een negatieve waarde heeft, de oplossing zal behoorlijk ingewikkeld zijn. In dit voorbeeld √ (121) = 11. We zouden kunnen schrijven: x = (5 +/- 11) / 6.

7. 

   Los de positieve en negatieve oplossingen op. Als je de vierkantswortel hebt verwijderd, kun je doorgaan totdat je de positieve en negatieve oplossingen van x hebt gevonden. Nu je (5 +/- 11) / 6 hebt, kun je twee opties schrijven:
   • (5 + 11)/6
   • (5 - 11)/6

8. 

   Vind de positieve en negatieve oplossingen. We hoeven alleen maar de berekening uit te voeren:
   • (5 + 11)/6 = 16/6
   • (5-11)/6 = -6/6

9. 

   Ineenstorting. Om uw antwoorden in te korten, hoeft u alleen de teller en het model te delen door hun grootste gemene deler. Deel de teller en noemer van de eerste breuk door 2 en de noemer en de noemer van de tweede breuk door 6, en je hebt x gevonden.
   • 16/6 = 8/3
   • -6/6 = -1
   • x = (-1, 8/3)
   advertentie

Methode 3 van 3: Voltooi het vierkant

1. 

   Verplaats alle termen naar één kant van de vergelijking. Zeker weten dat een of x heeft een positief teken. Hier is hoe:
   • 2x - 9 = 12x =
   • 2x - 12x - 9 = 0
     • In deze vergelijking, een gelijk aan 2, b is gelijk aan -12 en c gelijk aan -9.

2. 

   Verplaatst c of constant naar de andere kant. Constanten zijn numerieke termen die geen variabelen bevatten. Laten we het naar de rechterkant van de vergelijking verplaatsen:
   • 2x - 12x - 9 = 0
   • 2x - 12x = 9

3. 

   Verdeel beide zijden door de coëfficiënten een of de coëfficiënt van x. Als x geen term heeft, is de factor 1 en kunt u deze stap overslaan. In ons geval zou je alle termen in de vergelijking als volgt door 2 moeten delen:
   • 2x / 2 - 12x / 2 = 9/2 =
   • x - 6x = 9/2

4. 

   Delen b door twee, vierkant het en tel het resultaat aan beide kanten op. In dit voorbeeld b is gelijk aan -6. We doen het volgende:
   • -6/2 = -3 =
   • (-3) = 9 =
   • x - 6x + 9 = 9/2 + 9

5. 

   Vouw twee kanten samen. Om de linkerkant te ontbinden, hebben we (x-3) (x-3) of (x-3). Voeg de rechterkant toe om 9/2 + 9 te krijgen, of 9/2 + 18/2, en verkrijg 2/27.

6. 

   Zoek de vierkantswortel van beide zijden. De vierkantswortel van (x-3) is (x-3). U kunt de vierkantswortel van 27/2 uitdrukken als ± √ (27/2). Dus x - 3 = ± √ (27/2).

7. 

   Vouw het radicale teken samen en zoek x. Om ± √ (27/2) te verkleinen, zoeken we een kwadraat binnen 27, 2 of een factor daarvan. Het perfecte vierkant 9 is in 27, want 9x3 = 27. Om 9 van het radicale teken te verwijderen, trekken we het eruit en schrijven we 3, de vierkantswortel, naast het radicale teken. De resterende factor 3 in de teller kan niet worden uitgevoerd en blijft dus onder het radicaal teken. Tegelijkertijd laten we ook 2 achter in het monster van de breuk. Verplaats vervolgens de constante 3 aan de linkerkant van de vergelijking naar rechts en noteer de twee oplossingen:
   • x = 3 + (√6) / 2
   • x = 3 - (√6) / 2)
   advertentie

Advies

• Zoals te zien is, verdwijnt het radicale teken niet helemaal. Daarom kunnen termen in de teller niet cumulatief zijn (omdat het geen termen zijn van dezelfde eigenschap). Daarom is de plus-of-min-verdeling zinloos. In plaats daarvan kunnen we alle gemeenschappelijke factoren splitsen, maar ALLEEN MAAR wanneer constant EN Coëfficiënten van een radicaal bevatten ook die factor.
• Als het radicale teken geen perfect vierkant is, kunnen de laatste paar stappen iets anders worden genomen. Zoals:
• Als "b" een even getal is, zou de formule zijn: {- (b / 2) +/- √ (b / 2) -ac} / a.