Analyseer kwadratische vergelijkingen in factoren - Tips

Video: Kwadratische vergelijkingen - Oplossen met ontbinden in factoren (havo/vwo 2) - WiskundeAcademie

Inhoud

Stappen
Advies
Wat je nodig hebt

In wiskunde, factoren analyse is om getallen of uitdrukkingen te vinden met het product van een bepaald getal of een bepaalde vergelijking. Factoranalyse is een nuttige vaardigheid om te leren voor het oplossen van elementaire algebraïsche problemen: vaardig kunnen factoriseren is bijna cruciaal als het gaat om werken. met algebraïsche vergelijkingen of andere polynoomvormen. Factoranalyse kan worden gebruikt om algebraïsche uitdrukkingen te verminderen, waardoor het probleem eenvoudiger wordt. Dankzij dit kunt u bepaalde mogelijke antwoorden zelfs veel sneller elimineren dan met de hand oplossen.

Stappen

Methode 1 van 3: Analyseer getallen en elementaire algebraïsche uitdrukkingen in factoren

Begrijp de definitie van factoranalyse bij toepassing op enkele getallen. Hoewel het conceptueel eenvoudig is, kan het in de praktijk moeilijk zijn om complexe vergelijkingen toe te passen. Daarom is de eenvoudigste conceptuele benadering van factoranalyse om te beginnen met enkele getallen en vervolgens over te gaan op eenvoudige vergelijkingen voordat u verdergaat met meer geavanceerde toepassingen. Factor voor een bepaald nummer zijn nummers met het product van hetzelfde nummer. 1, 12, 2, 6, 3 en 4 zijn bijvoorbeeld factoren van 12 omdat 1 × 12, 2 × 6 en 3 × 4 allemaal gelijk zijn aan 12.
- Met andere woorden, de factoren van een bepaald getal zijn getallen is verdeeld door dat aantal.
- Kun jij de volledige factor 60 vinden? Het getal 60 wordt voor veel verschillende doeleinden gebruikt (minuten in een uur, seconden in een minuut, etc.) omdat het deelbaar is door veel getallen.
  - Het getal 60 heeft de volgende factoren: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 en 60.
Begrijp dat uitdrukkingen die variabelen bevatten, ook kunnen worden ontbonden. Naast onafhankelijke getallen kunnen variabelen met rekenkundige coëfficiënten ook worden ontbonden. Om dit te doen, hoeven we alleen de factoren van de coëfficiënt van de variabele te vinden. Weten hoe u analyse moet ontbinden, is erg handig bij het eenvoudig transformeren van algebraïsche vergelijkingen die variabelen bevatten.
- 12x kan bijvoorbeeld worden herschreven als resultaten van 12 en x. Het is mogelijk om 12x te schrijven als 3 (4x), 2 (6x), etc., en de factor te gebruiken die het beste past bij het beoogde gebruik van 12.
  - U kunt zelfs tot 12x analyse gaan vele keren. Met andere woorden, het is niet nodig om te stoppen bij 3 (4x) of 2 (6x) - we kunnen 4x en 6x analyseren om respectievelijk 3 (2 (2x) 2 (3 (2x)) te krijgen. Deze formule is gelijkwaardig.
Pas associatieve eigenschappen van vermenigvuldiging toe om algebraïsche vergelijkingen te ontbinden. Met behulp van uw kennis van het analyseren van zowel onafhankelijke getallen als coëfficiënten in factoren, kunt u eenvoudige algebraïsche vergelijkingen vereenvoudigen door gemeenschappelijke factoren te vinden van de getallen en variabelen die in de vergelijking zijn opgenomen. Om de vergelijking zo eenvoudig mogelijk te maken, zullen we vaak proberen de grootste gemene deler te vinden. Deze eenvoudige transformatie is mogelijk dankzij de associatieve aard van vermenigvuldiging - voor elk getal a, b en c hebben we: een (b + c) = ab + ac.
- Laten we eens kijken naar het volgende voorbeeldprobleem. Om de algebraïsche vergelijking 12x + 6 in een factor te ontbinden, vinden we eerst de grootste gemene deler van 12x en 6. 6 is het grootste getal waardoor zowel 12x als 6 deelbaar zijn, dus we kunnen eenvoudig transformeren verminder de vergelijking tot 6 (2x + 1).
- Hetzelfde proces is van toepassing op vergelijkingen met negatieve tekens en breuken. X / 2 + 4 kan bijvoorbeeld eenvoudig worden geconverteerd naar 1/2 (x + 8), en -7x + -21 kan worden ontleed tot -7 (x + 3).
advertentie

Methode 2 van 3: Analyse van kwadratische vergelijkingen in factoren

Zorg ervoor dat de vergelijking een kwadratische vorm heeft (ax + bx + c = 0). De kwadratische vergelijking heeft de vorm ax + bx + c = 0, waarbij a, b en c constanten zijn en a niet nul is (merk op dat a mei is gelijk aan 1 of -1). Als de vergelijking met één variabele (x) een of meer termen bevat die het kwadraat van x bevatten, kunt u de elementaire algebraïsche operator aan één kant van het gelijkteken meestal omzetten in 0 en let ax, enzovoort. aan de andere kant.
- De algebraïsche vergelijking 5x + 7x - 9 = 4x + x - 18 kan bijvoorbeeld worden teruggebracht tot x + 6x + 9 = 0, wat een kwadratische vorm is.
- Vergelijkingen waarin x een hogere exponent heeft, zoals x, x, enzovoort. kan niet kwadratisch zijn. Ze zijn kwadratisch, quartair, ... tenzij de vergelijking kan worden verminderd door termen te elimineren die de machten van 3 of meer van x bevatten.
Met kwadratische vergelijkingen, als a = 1, ontleden we in (x + d) (x + e), waarbij d × e = c en d + e = b. Als de kwadratische vergelijking de vorm x + bx + c = 0 heeft (of met andere woorden, als de coëfficiënt van x = 1), is er een mogelijkheid (maar niet zeker) dat we een relatief snelle berekening kunnen gebruiken. het is eenvoudig om deze vergelijking in factoren te ontbinden. Zoek twee getallen die gelijk zijn aan c en de som is gelijk aan b. Zodra u d en e heeft gevonden, vervangt u ze door de volgende uitdrukking: (x + d) (x + e). Wanneer ze met elkaar worden vermenigvuldigd, geven deze twee elementen ons de bovenstaande kwadratische vergelijking - met andere woorden, ze zijn factoren van de vergelijking.
- Neem bijvoorbeeld de kwadratische vergelijking x + 5x + 6 = 0. 3 en 2 hebben een product van 6 en hebben tegelijkertijd een totaal van 5. Daarom kunnen we de vergelijking eenvoudig omzetten naar (x + 3) ( x + 2).
- Deze eenvoudige snelle oplossing zal een beetje anders zijn als de vergelijking zelf een beetje anders is:
  - Als de kwadratische vergelijking de vorm x-bx + c heeft, is uw antwoord de volgende vorm: (x - _) (x - _).
  - Als het de vorm x + bx + c heeft, is uw antwoord: (x + _) (x + _).
  - Als het in x-bx-c staat, is uw antwoord in de vorm (x + _) (x - _).
- Opmerking: in spaties kunnen breuken of decimalen zijn. De vergelijking x + (21/2) x + 5 = 0 ontleedt bijvoorbeeld in (x + 10) (x + 1/2).
Voer indien mogelijk factoranalyse uit door te testen. Geloof het of niet, met de ongecompliceerde kwadratische vergelijking is een van de geaccepteerde methoden om te factoriseren eenvoudigweg naar het probleem te kijken en vervolgens alle mogelijke antwoorden af te wegen totdat er een resultaat is gevonden. goed antwoord. Het wordt ook wel de testmethode genoemd.Als de vergelijking de vorm ax + bx + c en a> 1 heeft, heeft je factoranalyse de vorm (dx +/- _) (ex +/- _), waarbij d en e constanten zijn de andere is niet gelijk aan a. d of e (of beide) mei is gelijk aan 1, hoewel dat niet noodzakelijk is. Als beide gelijk zijn aan 1, zou u in feite het hierboven getoonde snelle werk hebben gebruikt.
- Beschouw het volgende voorbeeldprobleem. Op het eerste gezicht ziet 3x - 8x + 4 er behoorlijk intimiderend uit. Als u zich echter eenmaal realiseert dat 3 slechts twee factoren heeft (3 en 1), wordt het probleem gemakkelijker omdat we weten dat het antwoord de volgende vorm moet hebben (3x +/- _) (x +/- _). In dit geval geeft het vervangen van -2 in beide spaties het juiste antwoord. -2 × 3x = -6x en -2 × x = -2x. -6x en -2x totaal gelijk aan -8x. -2 × -2 = 4, daarom kan worden gezien dat de elementen die tussen haakjes zijn geparseerd, ons de beginvergelijking geven.
Los het probleem op door het vierkant te voltooien. In sommige gevallen kunnen kwadratische vergelijkingen snel en gemakkelijk worden vermenigvuldigd met behulp van een speciale algebraïsche identiteit. Elke kwadratische vergelijking met de vorm x + 2xh + h = (x + h). Dus als in de vergelijking b tweemaal de vierkantswortel van c is, kan de vergelijking worden ontleed in (x + (sqrt (c))).
- De vergelijking x + 6x + 9 zou bijvoorbeeld voor deze vorm werken. 3 is gelijk aan 9 en 3 × 2 is gelijk aan 6. We weten dus dat de factorisatievorm van deze vergelijking (x + 3) (x + 3) of (x + 3) is.
Los kwadratische vergelijkingen op met factoren. Hoe dan ook, als de kwadratische uitdrukking eenmaal is ontbonden, kun je een mogelijk antwoord op de waarde van x vinden door elke factor nul te geven en deze op te lossen. Aangezien u de waarde van x zo zoekt dat de vergelijking nul is, is elke x die ervoor zorgt dat een factor nul is, een mogelijke oplossing voor die vergelijking.
- Ga terug naar de vergelijking x + 5x + 6 = 0. Dit wordt ontleed tot (x + 3) (x + 2) = 0. Als een factor nul is, wordt de hele vergelijking nul. Mogelijke oplossingen van x zijn de getallen die (x + 3) en (x + 2) gelijk maken aan respectievelijk 0, -3 en -2.
Controleer uw antwoorden - sommige kunnen exotisch zijn! Als je mogelijke oplossingen van x vindt, vervang ze dan door de oorspronkelijke vergelijking om te bepalen of ze juist zijn of niet. Soms vindt het antwoord het geen probleem zorgt ervoor dat de oorspronkelijke vergelijking nul is wanneer deze wordt vervangen. We noemen deze oplossingen Exotisch en elimineer ze.
- Laten we -2 en -3 vervangen voor x + 5x + 6 = 0. Ten eerste, -2:
  - (-2) + 5(-2) + 6 = 0
  - 4 + -10 + 6 = 0
  - 0 = 0. Ja, dus -2 is een geldige oplossing van de vergelijking.
- Laten we het nu proberen met -3:
  - (-3) + 5(-3) + 6 = 0
  - 9 + -15 + 6 = 0
  - 0 = 0. Dit is ook waar en daarom is -3 ook een geldige oplossing van de vergelijking.
advertentie

Methode 3 van 3: Analyseer andere soorten vergelijkingen in factoren

Als de vergelijking de vorm a-b heeft, ontleed je deze in (a + b) (a-b). De vergelijking met twee variabelen wordt anders geanalyseerd dan de fundamentele kwadratische vergelijking. Elke a-b-vergelijking waarin a en b niet nul zijn, wordt ontleed in (a + b) (a-b).
- De vergelijking 9x - 4y = (3x + 2y) (3x - 2y).
Als de vergelijking de vorm a + 2ab + b heeft, ontleed je deze in (a + b). Merk op dat als de trinominale vorm een-2ab + b, zal de factorisatievorm enigszins afwijken: (a-b).
- Vergelijkingen 4x + 8xy + 4y kunnen worden herschreven als 4x + (2 × 2 × 2) xy + 4y. We zien nu dat het in de juiste vorm is en kunnen vol vertrouwen zeggen dat de factorisatievorm van deze vergelijking (2x + 2y) is.
Als de vergelijking de vorm a-b heeft, ontleedt u deze in (a-b) (a + ab + b). Ten slotte moet worden gezegd dat ternaire vergelijkingen en zelfs vergelijkingen van hogere orde kunnen worden ontbonden. Het analyseproces zal echter snel ongelooflijk complex worden.
- Bijvoorbeeld: 8x - 27y ontleedt in (2x - 3y) (4x + ((2x) (3y)) + 9y)
advertentie

Advies

a-b kan worden ontbonden, en a + b niet.
Bedenk hoe u constanten kunt factoreren - dit kan nuttig zijn.
Besteed aandacht aan breuken in het proces van factorisatie, behandel ze correct en gepast.
Met de x + bx + (b / 2) drietand, zou de factorisatie (x + (b / 2)) zijn (je zou deze situatie kunnen tegenkomen tijdens het voltooien van het vierkant).
Onthoud dat a0 = 0 (eigenschap vermenigvuldigd met nul).