Inhoud

• Stappen
• Methode 1 van 4: Monomiaal in de noemer
• Methode 2 van 4: Binomiaal in de noemer
• Methode 3 van 4: Omgekeerde expressie
• Methode 4 van 4: Kubieke wortelnoemer

In de wiskunde is het niet gebruikelijk om een ​​wortel of een irrationeel getal in de noemer van een breuk te laten. Als de noemer een wortel is, vermenigvuldig dan de breuk met een term of uitdrukking om de wortel te verwijderen. Met moderne rekenmachines kun je met wortels in de noemer werken, maar het onderwijsprogramma vereist dat studenten irrationaliteit in de noemer kunnen verwijderen.

Stappen

Methode 1 van 4: Monomiaal in de noemer

1. 1 Leer de breuk. De breuk is correct geschreven als er geen wortel in de noemer staat. Als de noemer een vierkantswortel of een andere wortel heeft, moet je de teller en de noemer met een monomiaal vermenigvuldigen om de wortel te verwijderen. Houd er rekening mee dat de teller een wortel kan bevatten - dit is normaal.
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}}}$
   • De noemer heeft hier een wortel ${ weergavestijl { sqrt {7}}}$.
2. 2 Vermenigvuldig de teller en de noemer met de wortel van de noemer. Als de noemer een monomiaal bevat, is het vrij eenvoudig om zo'n breuk te rationaliseren. Vermenigvuldig de teller en de noemer met dezelfde monomiaal (dat wil zeggen, u vermenigvuldigt de breuk met 1).
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}} cdot { frac { sqrt {7}} { sqrt {7}}}}$
   • Als u een uitdrukking voor een oplossing op een rekenmachine invoert, zorg er dan voor dat u haakjes rond elk onderdeel plaatst om ze te scheiden.
3. 3 Vereenvoudig de breuk (indien mogelijk). In ons voorbeeld kan het worden afgekort door de teller en noemer te delen door 7.
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}} cdot { frac { sqrt {7}} { sqrt {7}}} = { frac {7 { sqrt {21}}} {14}} = { frac { sqrt {21}} {2}}}$

Methode 2 van 4: Binomiaal in de noemer

1. 1 Leer de breuk. Als de noemer de som of het verschil van twee monomialen bevat, waarvan er één een wortel bevat, is het onmogelijk om de breuk met zo'n binomiaal te vermenigvuldigen om irrationaliteit kwijt te raken.
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}}}$
   • Om dit te begrijpen, noteer de breuk ${ displaystyle { frac {1} {a + b}}}$waar de monomial ${ weergavestijl a}$ of ${ weergavestijl b}$ bevat de wortel. In dit geval: ${ displaystyle (a + b) (a + b) = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}}$... Dus de monomiale ${ weergavestijl 2ab}$ zal nog steeds de root bevatten (als ${ weergavestijl a}$ of ${ weergavestijl b}$ bevat de wortel).
   • Laten we eens kijken naar ons voorbeeld.
     • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {2}}} {2 + { sqrt {2}}}} = { frac {4 (2 + { sqrt {2}})} {4 + 4 { sqrt {2}} + 2}}}$
   • Je ziet dat je de monomiaal in de noemer niet kwijt kunt ${ displaystyle 4 { sqrt {2}}}$.
2. 2 Vermenigvuldig de teller en noemer met de binominale conjugaat van de binomiaal in de noemer. Een geconjugeerde binomiaal is een binomiaal met dezelfde monomiaal, maar met het tegenovergestelde teken ertussen. Bijvoorbeeld binom ${ displaystyle 2 + { sqrt {2}}}$ geconjugeerd aan een binomiaal ${ displaystyle 2 - { sqrt {2}}.}$
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 - { sqrt {2}}} {2 - { sqrt {2}}}}}$
   • Begrijp de betekenis van deze methode. Beschouw de breuk opnieuw ${ displaystyle { frac {1} {a + b}}}$... Vermenigvuldig de teller en de noemer met de binomiaal geconjugeerde naar de binomiaal in de noemer: ${ displaystyle (a + b) (a-b) = a ^ {2} -b ^ {2}}$... Er zijn dus geen monomials die wortels bevatten. Sinds de monomialen ${ weergavestijl a}$ en ${ weergavestijl b}$ vierkant zijn, worden de wortels geëlimineerd.
3. 3 Vereenvoudig de breuk (indien mogelijk). Als er een gemeenschappelijke factor is in zowel de teller als de noemer, annuleer deze dan. In ons geval 4 - 2 = 2, wat kan worden gebruikt om de breuk te verkleinen.
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 - { sqrt {2}}} {2 - { sqrt {2}}}} = { frac {4 (2 - { sqrt {2}})} {4-2}} = 4-2 { sqrt {2}}}$

Methode 3 van 4: Omgekeerde expressie

1. 1 Onderzoek het probleem. Als u een uitdrukking moet vinden die de inverse is van de gegeven en die een wortel bevat, moet u de resulterende breuk rationaliseren (en pas daarna vereenvoudigen). Gebruik in dit geval de methode die wordt beschreven in de eerste of tweede sectie (afhankelijk van de taak).
   • ${ weergavestijl 2 - { sqrt {3}}}$
2. 2 Schrijf de tegenovergestelde uitdrukking op. Om dit te doen, deelt u 1 door de gegeven uitdrukking; als je een breuk krijgt, verwissel dan de teller en de noemer. Onthoud dat elke uitdrukking een breuk is met 1 in de noemer.
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}}}$
3. 3 Vermenigvuldig de teller en noemer met een uitdrukking om de wortel te verwijderen. Door de teller en de noemer met dezelfde uitdrukking te vermenigvuldigen, vermenigvuldigt u de breuk met 1, dat wil zeggen dat de waarde van de breuk niet verandert. In ons voorbeeld krijgen we een binomiaal, dus vermenigvuldig de teller en noemer met de geconjugeerde binomiaal.
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {3}}} {2 + { sqrt {3}}}}}$
4. 4 Vereenvoudig de breuk (indien mogelijk). In ons voorbeeld is 4 - 3 = 1, dus de uitdrukking in de noemer van de breuk kan volledig worden geannuleerd.
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {3}}} {2 + { sqrt {3}}}} = { frac {2 + { sqrt {3}}} {4-3}} = 2 + { sqrt {3}}}$
   • Het antwoord is een binomiaal geconjugeerd aan dit binomiaal. Het is gewoon toeval.

Methode 4 van 4: Kubieke wortelnoemer

1. 1 Leer de breuk. Het probleem kan kubuswortels bevatten, hoewel dit vrij zeldzaam is. De beschreven methode is toepasbaar op wortels van elke graad.
   • ${ displaystyle { frac {3} { sqrt [{3}] {3}}}}$
2. 2 Herschrijf de wortel als een kracht. Hier kun je de teller en noemer niet vermenigvuldigen met een monomiaal of uitdrukking, omdat rationalisatie op een iets andere manier wordt uitgevoerd.
   • ${ weergavestijl { frac {3} {3 ^ {1/3}}}}$
3. 3 Vermenigvuldig de teller en noemer van de breuk met een macht zodat de exponent in de noemer 1 wordt. Vermenigvuldig in ons voorbeeld de breuk met ${ weergavestijl { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}}}$... Onthoud dat wanneer de graden worden vermenigvuldigd, hun indicatoren optellen: ${ displaystyle a ^ {b} a ^ {c} = a ^ {b + c}.}$
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}} cdot { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}}}$
   • Deze methode is toepasbaar op alle wortels van graad n. Als een breuk wordt gegeven ${ displaystyle { frac {1} {a ^ {1 / n}}}}$, vermenigvuldig de teller en de noemer met ${ displaystyle a ^ {1 - { frac {1} {n}}}}$... De exponent in de noemer wordt dus 1.
4. 4 Vereenvoudig de breuk (indien mogelijk).
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}} cdot { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}} = 3 ^ {2/3 }}$
   • Noteer zo nodig de wortel in het antwoord. Factor in ons voorbeeld de exponent in twee factoren: ${ weergavestijl 1/3}$ en ${ weergavestijl 2}$.
     • ${ displaystyle 3 ^ {2/3} = (3 ^ {2}) ^ {1/3} = { sqrt [{3}] {9}}}$