Inhoud

• Stappen
• Methode 1 van 3: Hoe de onbekende kant te vinden
• Methode 2 van 3: Een onbekende hoek zoeken
• Methode 3 van 3: Voorbeeldproblemen
• Tips

De cosinusstelling wordt veel gebruikt in trigonometrie. Het wordt gebruikt bij het werken met onregelmatige driehoeken om onbekende grootheden zoals zijden en hoeken te vinden. De stelling is vergelijkbaar met de stelling van Pythagoras en is vrij gemakkelijk te onthouden. De cosinusstelling zegt dat in elke driehoek ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.

Stappen

Methode 1 van 3: Hoe de onbekende kant te vinden

1. 1 Schrijf de bekende waarden op. Om de onbekende zijde van een driehoek te vinden, moet u de andere twee zijden en de hoek ertussen kennen.
   • Bijvoorbeeld, gegeven een driehoek XYZ. De YX-zijde is 5 cm, de YZ-zijde is 9 cm en de Y-hoek is 89°. Wat is de XZ-kant?
2. 2 Schrijf de formule van de cosinusstelling op. Formule: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, waar ${ weergavestijl c}$ - onbekende partij, ${ weergavestijl cos {C}}$ - cosinus van de hoek tegenover de onbekende zijde, ${ weergavestijl a}$ en ${ weergavestijl b}$ - twee bekende kanten.
3. 3 Vul de bekende waarden in de formule in. Variabelen ${ weergavestijl a}$ en ${ weergavestijl b}$ duiden twee bekende zijden aan. Variabele ${ weergavestijl C}$ is de bekende hoek die tussen de zijden ligt ${ weergavestijl a}$ en ${ weergavestijl b}$.
   • In ons voorbeeld is de XZ-zijde onbekend, dus in de formule wordt deze aangeduid als ${ weergavestijl c}$... Omdat de zijden YX en YZ bekend zijn, worden ze aangeduid met de variabelen ${ weergavestijl a}$ en ${ weergavestijl b}$... Variabele ${ weergavestijl C}$ is de hoek Y. De formule wordt dus als volgt geschreven: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) cos {89}}$.
4. 4 Vind de cosinus van een bekende hoek. Doe het met een rekenmachine. Voer een hoekwaarde in en klik vervolgens op ${ displaystijl COS}$... Als je geen wetenschappelijke rekenmachine hebt, vind je hier bijvoorbeeld een online cosinustabel. Ook in Yandex kun je "cosinus van X graden" invoeren (vervang de hoekwaarde voor X), en de zoekmachine zal de cosinus van de hoek weergeven.
   • De cosinus is bijvoorbeeld 89 ° ≈ 0,01745. Dus: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$.
5. 5 Vermenigvuldig de getallen. Vermenigvuldigen ${ weergavestijl 2ab}$ door de cosinus van een bekende hoek.
   • Bijvoorbeeld:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
6. 6 Vouw de vierkanten van de bekende zijden. Onthoud dat om een ​​getal te kwadrateren, het met zichzelf moet worden vermenigvuldigd. Maak eerst het kwadraat van de corresponderende getallen en voeg vervolgens de resulterende waarden toe.
   • Bijvoorbeeld:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
     ${ displaystijl c ^ {2} = 25 + 81-1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
7. 7 Trek twee getallen af. Je zal vinden ${ weergavestijl c ^ {2}}$.
   • Bijvoorbeeld:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
     ${ displaystijl c ^ {2} = 104.4293}$
8. 8 Neem de vierkantswortel van deze waarde. Gebruik hiervoor een rekenmachine. Zo vind je de onbekende kant.
   • Bijvoorbeeld:
     ${ displaystijl c ^ {2} = 104.4293}$
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {104.4293}}}$
     ${ weergavestijl c = 10.2191}$
     De onbekende kant is dus 10,2191 cm.

Methode 2 van 3: Een onbekende hoek zoeken

1. 1 Schrijf de bekende waarden op. Om de onbekende hoek van een driehoek te vinden, moet je alle drie de zijden van de driehoek kennen.
   • Bijvoorbeeld, gegeven een driehoek RST. Zijkant CP = 8 cm, ST = 10 cm, PT = 12 cm. Zoek de waarde van de hoek S.
2. 2 Schrijf de formule van de cosinusstelling op. Formule: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, waar ${ weergavestijl cos {C}}$ - cosinus van een onbekende hoek, ${ weergavestijl c}$ - een bekende zijde tegenover een onbekende hoek, ${ weergavestijl a}$ en ${ weergavestijl b}$ - twee andere bekende feesten.
3. 3 Zoek de waarden een{ weergavestijl a}, B{ weergavestijl b} en C{ weergavestijl c}. Sluit ze vervolgens aan op de formule.
   • De RT-zijde is bijvoorbeeld tegengesteld aan de onbekende hoek S, dus de RT-zijde is ${ weergavestijl c}$ in de formule. Andere partijen zullen ${ weergavestijl a}$ en ${ weergavestijl b}$... De formule wordt dus als volgt geschreven: ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -2 (8) (10) cos {C}}$.
4. 4 Vermenigvuldig de getallen. Vermenigvuldigen ${ weergavestijl 2ab}$ door de cosinus van de onbekende hoek.
   • Bijvoorbeeld, ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$.
5. 5 rechtop C{ weergavestijl c} in een vierkant. Dat wil zeggen, vermenigvuldig het getal zelf.
   • Bijvoorbeeld, ${ displaystyle 144 = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$
6. 6 Vouw de vierkanten een{ weergavestijl a} en B{ weergavestijl b}. Maar maak eerst het kwadraat van de corresponderende getallen.
   • Bijvoorbeeld:
     ${ weergavestijl 144 = 64 + 100-160 cos {C}}$
     ${ displaystijl 144 = 164-160 cos {C}}$
7. 7 Isoleer de cosinus van de onbekende hoek. Trek hiervoor het bedrag af ${ weergavestijl a ^ {2}}$ en ${ weergavestijl b ^ {2}}$ van beide kanten van de vergelijking. Deel vervolgens elke zijde van de vergelijking door de factor op de cosinus van de onbekende hoek.
   • Om bijvoorbeeld de cosinus van een onbekende hoek te isoleren, trekt u 164 af van beide zijden van de vergelijking en deelt u vervolgens elke zijde door -160:
     ${ displaystijl 144-164 = 164-164-160 cos {C}}$
     ${ weergavestijl -20 = -160 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-20} {- 160}} = { frac {-160 cos {C}} {- 160}}}$
     ${ displaystijl 0.125 = cos {C}}$
8. 8 Bereken de inverse cosinus. Dit zal de waarde van de onbekende hoek vinden. Op de rekenmachine wordt de inverse cosinusfunctie aangegeven ${ displaystijl COS ^ {- 1}}$.
   • De arccosinus van 0,0125 is bijvoorbeeld 82,8192. De hoek S is dus 82,8192 °.

Methode 3 van 3: Voorbeeldproblemen

1. 1 Zoek de onbekende zijde van de driehoek. De bekende zijden zijn 20 cm en 17 cm, en de hoek daartussen is 68°.
   • Omdat je twee zijden krijgt en de hoek ertussen, kun je de cosinusstelling gebruiken. Schrijf de formule op: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • De onbekende kant is ${ weergavestijl c}$... Steek de bekende waarden in de formule: ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$.
   • Berekenen ${ weergavestijl c ^ {2}}$, met inachtneming van de volgorde van wiskundige bewerkingen:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) (0.3746)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 400 + 289-254.7325}$
     ${ displaystijl c ^ {2} = 689-254.7325}$
     ${ weergavestijl c ^ {2} = 434.2675}$
   • Neem de vierkantswortel van beide zijden van de vergelijking. Zo vind je de onbekende kant:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {434.2675}}}$
     ${ weergavestijl c = 20.8391}$
     De onbekende kant is dus 20,8391 cm.
2. 2 Zoek de hoek H in driehoek GHI. De twee zijden naast hoek H zijn 22 en 16 cm, de zijde tegenover hoek H is 13 cm.
   • Omdat alle drie de zijden zijn gegeven, kan de cosinusstelling worden gebruikt. Schrijf de formule op: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • De zijde tegenover de onbekende hoek is ${ weergavestijl c}$... Steek de bekende waarden in de formule: ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -2 (22) (16) cos {C}}$.
   • Vereenvoudig de resulterende uitdrukking:
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ weergavestijl 169 = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 740-704 cos {C}}$
   • Isoleer de cosinus:
     ${ displaystyle 169-740 = 740-740-704 cos {C}}$
     ${ displaystyle -571 = -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-571} {- 704}} = { frac {-704 cos {C}} {- 704}}}$
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
   • Zoek de inverse cosinus. Zo bereken je de onbekende hoek:
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
     ${ displaystyle 35.7985 = COS ^ {- 1}}$.
     De hoek H is dus 35,7985 °.
3. 3 Zoek de lengte van het pad. De rivier-, heuvel- en moeraspaden vormen een driehoek. De lengte van de River Trail is 3 km, de lengte van de Hilly Trail is 5 km; deze paden kruisen elkaar onder een hoek van 135 °. Het moeraspad verbindt de twee uiteinden van de andere paden. Vind de lengte van de Swamp Trail.
   • De paden vormen een driehoek. Je moet de lengte van het onbekende pad vinden, dat is de zijde van de driehoek. Omdat de lengtes van de andere twee paden en de hoek daartussen gegeven zijn, kan de cosinusstelling worden gebruikt.
   • Schrijf de formule op: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Het onbekende pad (moeras) wordt aangeduid als ${ weergavestijl c}$... Steek de bekende waarden in de formule: ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$.
   • Berekenen ${ weergavestijl c ^ {2}}$:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) (- 0.7071)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} - (- 21.2132)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 9 + 25 + 21.2132}$
     ${ displaystijl c ^ {2} = 55.2132}$
   • Neem de vierkantswortel van beide zijden van de vergelijking. Zo vind je de lengte van het onbekende pad:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {55.2132}}}$
     ${ weergavestijl c = 7.4306}$
     De lengte van de Swamp Trail is dus 7.4306 km.

Tips

• Het is gemakkelijker om de sinusstelling te gebruiken. Zoek daarom eerst uit of het op het gegeven probleem kan worden toegepast.