Hoe de Laplace-transformatie op een functie toe te passen?

Video: Intro to the Laplace Transform & Three Examples

Inhoud

Voorlopige informatie
Stappen
Deel 1 van 3: De basis
Deel 2 van 3: Eigenschappen van de Laplace-transformatie
Deel 3 van 3: De Laplace-transformatie vinden door serie-uitbreiding

De Laplace-transformatie is een integrale transformatie die wordt gebruikt om differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten op te lossen. Deze transformatie wordt veel gebruikt in de natuurkunde en techniek.

Hoewel u de juiste tabellen kunt gebruiken, is het handig om de Laplace-transformatie te begrijpen, zodat u het indien nodig zelf kunt doen.

Voorlopige informatie

Gegeven een functie F(t){ weergavestijl f (t)}gedefinieerd voor t≥0.{ weergavestijl t geq 0.} Vervolgens Laplace-transformatie functie F(t){ weergavestijl f (t)} is de volgende functie van elke waarde s{ weergavestijl s}, waarbij de integraal convergeert:
- ${ displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
De Laplace-transformatie neemt een functie van het t-gebied (tijdschaal) naar het s-gebied (transformatiegebied), waarbij ${ weergavestijl F (s)}$ is een complexe functie van een complexe variabele. Hiermee kunt u de functie verplaatsen naar een gebied waar gemakkelijker een oplossing kan worden gevonden.
Het is duidelijk dat de Laplace-transformatie een lineaire operator is, dus als we te maken hebben met een som van termen, kan elke integraal afzonderlijk worden berekend.
- ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
Onthoud dat de Laplace-transformatie alleen werkt als de integraal convergeert. Als de functie ${ weergavestijl f (t)}$ discontinuïteiten heeft, is het noodzakelijk om voorzichtig te zijn en de grenzen van integratie correct te stellen om onzekerheid te vermijden.

Stappen

Deel 1 van 3: De basis

1 Vervang de functie in de Laplace-transformatieformule. Theoretisch is de Laplace-transformatie van een functie heel eenvoudig te berekenen. Beschouw als voorbeeld de functie F(t)=eeent{ displaystyle f (t) = e ^ {at}}, waar een{ weergavestijl a} is een complexe constante met Met betrekking tot⁡(s)Met betrekking tot⁡(een).{ displaystyle operatornaam {Re} (s) operatornaam {Re} (a).}
- ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2 Schat de integraal met behulp van de beschikbare methoden. In ons voorbeeld is de schatting heel eenvoudig en kun je rondkomen met eenvoudige berekeningen. In complexere gevallen kunnen complexere methoden nodig zijn, bijvoorbeeld integratie in delen of differentiatie onder het integraalteken. Beperkende voorwaarde: Met betrekking tot⁡(s)Met betrekking tot⁡(een){ displaystyle operatornaam {Re} (s) operatornaam {Re} (a)} betekent dat de integraal convergeert, dat wil zeggen, de waarde neigt naar 0 als t→∞.{ displaystyle t tot infty.}
- ${ displaystyle { begin {uitgelijnd} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} end {uitgelijnd}}}$
- Merk op dat dit ons twee soorten Laplace-transformatie geeft, met sinus en cosinus, omdat volgens de formule van Euler eIeent{ weergavestijl e ^ {iat}}... In dit geval krijgen we in de noemer s−Ieen,{ displaystyle s-ia,} en het blijft alleen om de echte en imaginaire delen te bepalen. Je kunt het resultaat ook direct evalueren, maar dat zou wat langer duren.
  - ${ displaystyle { mathcal {L}} { cos at } = operatornaam {Re} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {s} {s ^ {2} + een ^ {2}}}}$
  - ${ displaystyle { mathcal {L}} { sin at } = operatornaam {Im} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {a} {s ^ {2} + een ^ {2}}}}$
3 Beschouw de Laplace-transformatie van een machtsfunctie. Eerst moet je de transformatie van de machtsfunctie definiëren, aangezien je met de lineariteitseigenschap de transformatie kunt vinden voor van alles veeltermen. Een functie van de vorm tN,{ weergavestijl t ^ {n},} waar N{ weergavestijl n} - elk positief geheel getal. Kan stuk voor stuk worden geïntegreerd om een recursieve regel te definiëren.
- ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { mathcal {L}} {t ^ {n-1} }}$
- Dit resultaat wordt impliciet uitgedrukt, maar als u meerdere waarden vervangt N,{ weergavestijl n,} je kunt een bepaald patroon vaststellen (probeer het zelf te doen), waardoor je het volgende resultaat krijgt:
  - ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}$
- U kunt ook de Laplace-transformatie van fractionele machten definiëren met behulp van de gammafunctie. Op deze manier kun je bijvoorbeeld de transformatie vinden van een functie zoals F(t)=t.{ displaystyle f (t) = { sqrt {t}}.}
  - ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac { Gamma (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}$
  - ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Gamma (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac { sqrt { pi}} {2s { sqrt {s}}}}}$
- Hoewel functies met fractionele machten bezuinigingen moeten hebben (onthoud, alle complexe getallen ${ weergavestijl z}$ en ${ weergavestijl alpha}$ kan worden geschreven als ${ displaystijl z ^ { alpha}}$ , omdat de ${ displaystyle e ^ { alpha operatornaam {Log} z}}$ ), kunnen ze altijd zo worden gedefinieerd dat de sneden in het linker halve vlak liggen, en dus analytische problemen voorkomen.

Deel 2 van 3: Eigenschappen van de Laplace-transformatie

1 Laten we de Laplace-transformatie vinden van de functie vermenigvuldigd met eeent{ displaystyle e ^ {at}}. De resultaten die in de vorige sectie zijn verkregen, hebben ons in staat gesteld enkele interessante eigenschappen van de Laplace-transformatie te ontdekken. De Laplace-transformatie van functies zoals cosinus, sinus en exponentiële functie lijkt eenvoudiger dan de machtsfunctie-transformatie. Vermenigvuldiging met eeent{ displaystyle e ^ {at}} in het t-gebied komt overeen met verschuiving in de s-regio:
- ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {d} t = F (sa)}$
- Met deze eigenschap kunt u onmiddellijk de transformatie van functies vinden, zoals: F(t)=e3tzonde⁡2t{ displaystyle f (t) = e ^ {3t} sin 2t}, zonder de integraal te hoeven berekenen:
  - ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2 Laten we de Laplace-transformatie vinden van de functie vermenigvuldigd met tN{ weergavestijl t ^ {n}}. Overweeg eerst vermenigvuldiging met t{ weergavestijl t}... Per definitie kan men een functie differentiëren onder een integraal en een verrassend eenvoudig resultaat krijgen:
- ${ displaystyle { begin {uitgelijnd} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { gedeeltelijke} { gedeeltelijke s}} e ^ {- st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} end {uitgelijnd}}}$
- Als we deze bewerking herhalen, krijgen we het eindresultaat:
  - ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} ^ {n}}}}$
- Hoewel de herschikking van de operatoren van integratie en differentiatie enige aanvullende rechtvaardiging vereist, zullen we deze hier niet presenteren, maar alleen opmerken dat deze operatie correct is als het eindresultaat logisch is. Je kunt er ook rekening mee houden dat de variabelen ${ weergavestijl s}$ en ${ weergavestijl t}$ niet van elkaar afhankelijk zijn.
- Met behulp van deze regel is het gemakkelijk om de transformatie van functies te vinden, zoals: t2omdat⁡2t{ displaystyle t ^ {2} cos 2t}, zonder herintegratie door delen:
  - ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3 Vind de Laplace-transformatie van de functie F(eent){ displaystyle f (at)}. Dit kan eenvoudig worden gedaan door de variabele te vervangen door u met behulp van de definitie van een transformatie:
- ${ displaystyle { begin {uitgelijnd} { mathcal {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = bij & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F left ({ frac {s} {a}} right) end {uitgelijnd}}}$
- Hierboven vonden we de Laplace-transformatie van functies ${ displaystyle zonde om}$ en ${ displaystyle cos at}$ rechtstreeks van de exponentiële functie. Als u deze eigenschap gebruikt, kunt u hetzelfde resultaat krijgen als u de echte en imaginaire delen vindt ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$ .
4 Vind de Laplace-transformatie van de afgeleide F′(t){ displaystyle f ^ { prime} (t)}. In tegenstelling tot de vorige voorbeelden, in dit geval: moet stuk voor stuk integreren:
- ${ displaystyle { begin {uitgelijnd} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { prime} (t ) e ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { prime} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} Big _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF (s) -f (0) end {uitgelijnd}}}$
- Omdat de tweede afgeleide in veel fysieke problemen voorkomt, vinden we er ook de Laplace-transformatie voor:
  - ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
- In het algemeen wordt de Laplace-transformatie van de afgeleide van de n-de orde als volgt gedefinieerd (dit maakt het mogelijk om differentiaalvergelijkingen op te lossen met behulp van de Laplace-transformatie):
  - ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - sum _ {k = 0} ^ {n-1} s ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

Deel 3 van 3: De Laplace-transformatie vinden door serie-uitbreiding

1 Laten we de Laplace-transformatie vinden voor een periodieke functie. De periodieke functie voldoet aan de voorwaarde F(t)=F(t+Nt),{ displaystyle f (t) = f (t + nT),} waar t{ weergavestijl T} is de periode van de functie, en N{ weergavestijl n} is een positief geheel getal. Periodieke functies worden veel gebruikt in veel toepassingen, waaronder signaalverwerking en elektrotechniek. Met behulp van eenvoudige transformaties krijgen we het volgende resultaat:
- ${ displaystyle { begin {uitgelijnd} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { uitgelijnd}}}$
- Zoals u kunt zien, is het in het geval van een periodieke functie voldoende om de Laplace-transformatie gedurende één periode uit te voeren.
2 Voer de Laplace-transformatie uit voor de natuurlijke logaritme. In dit geval kan de integraal niet worden uitgedrukt in de vorm van elementaire functies. Met behulp van de gammafunctie en de reeksuitbreiding kunt u de natuurlijke logaritme en de graden ervan schatten. De aanwezigheid van de Euler-Mascheroni-constante γ{ weergavestijl gamma} toont aan dat om deze integraal te schatten, het noodzakelijk is om een reeksuitbreiding te gebruiken.
- ${ displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gamma + ln s} {s}}}$
3 Beschouw de Laplace-transformatie van de niet-genormaliseerde sinc-functie. Functie sinc⁡(t)=zonde⁡tt{ displaystyle operatornaam {sinc} (t) = { frac { sin t} {t}}} veel gebruikt voor signaalverwerking, in differentiaalvergelijkingen is gelijk aan de sferische Bessel-functie van de eerste soort en nulde orde J0(x).{ displaystyle j_ {0} (x).} De Laplace-transformatie van deze functie kan ook niet met standaardmethoden worden berekend. In dit geval wordt de transformatie van individuele leden van de reeks, die machtsfuncties zijn, uitgevoerd, zodat hun transformaties noodzakelijkerwijs convergeren op een bepaald interval.
- Eerst schrijven we de uitbreiding van de functie in een Taylorreeks:
  - ${ displaystyle { frac { sin t} {t}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)!}}}$
- Nu gebruiken we de reeds bekende Laplace-transformatie van een machtsfunctie. De faculteiten worden geannuleerd en als resultaat krijgen we de Taylor-uitbreiding voor de arctangens, dat wil zeggen een alternerende reeks die lijkt op de Taylor-reeks voor de sinus, maar zonder faculteiten:
  - ${ displaystyle { begin {uitgelijnd} { mathcal {L}} left {{ frac { sin t} {t}} right } & = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = som _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = tan ^ {- 1} { frac {1} {s}} end {uitgelijnd}}}$