Inhoud

• Stappen
• Tips

De grafiek van een kwadratische vergelijking van de vorm ax + bx + c of a (x - h) + k is een parabool (U-vormige kromme). Om zo'n vergelijking te plotten, moet je het hoekpunt van de parabool, de richting en snijpunten met de X- en Y-assen vinden. Als je een relatief eenvoudige kwadratische vergelijking krijgt, kun je verschillende waarden van "x " erin, zoek de overeenkomstige waarden van "y" en bouw een grafiek ...

Stappen

1. 1 De kwadratische vergelijking kan in een standaardvorm en in een niet-standaardvorm worden geschreven. U kunt elk soort vergelijking gebruiken om een ​​kwadratische vergelijking te plotten (de plotmethode is iets anders). In de regel worden kwadratische vergelijkingen in een standaardvorm gegeven, maar dit artikel zal je vertellen over beide soorten het schrijven van een kwadratische vergelijking.
   • Standaardvorm: f (x) = ax + bx + c, waarbij a, b, c reële getallen zijn en a ≠ 0.
     • Bijvoorbeeld twee vergelijkingen van de standaardvorm: f (x) = x + 2x + 1 en f (x) = 9x + 10x -8.
   • Niet-standaardvorm: f (x) = a (x - h) + k, waarbij a, h, k reële getallen zijn en a ≠ 0.
     • Bijvoorbeeld twee vergelijkingen van een niet-standaardvorm: f (x) = 9 (x - 4) + 18 en -3 (x - 5) + 1.
   • Om een ​​kwadratische vergelijking van welke aard dan ook te plotten, moet je eerst het hoekpunt van de parabool vinden, die coördinaten heeft (h, k). De coördinaten van het hoekpunt van de parabool in de vergelijkingen van de standaardvorm worden berekend met de formules: h = -b / 2a en k = f (h); de coördinaten van het hoekpunt van de parabool in vergelijkingen van een niet-standaardvorm kunnen direct uit de vergelijkingen worden verkregen.
2. 2 Om de grafiek te plotten, moet u de numerieke waarden van de coëfficiënten a, b, c (of a, h, k) vinden. In de meeste problemen worden kwadratische vergelijkingen gegeven met numerieke waarden van de coëfficiënten.
   • Bijvoorbeeld in de standaardvergelijking f (x) = 2x + 16x + 39 a = 2, b = 16, c = 39.
   • Bijvoorbeeld, in een niet-standaard vergelijking f (x) = 4 (x - 5) + 12, a = 4, h = 5, k = 12.
3. 3 Bereken h in de standaardvergelijking (in de niet-standaard is het al gegeven) met behulp van de formule: h = -b / 2a.
   • In ons standaardvergelijkingsvoorbeeld is f (x) = 2x + 16x + 39 h = -b / 2a = -16/2 (2) = -4.
   • In ons voorbeeld van een niet-standaard vergelijking, f (x) = 4 (x - 5) + 12 h = 5.
4. 4 Bereken k in de standaardvergelijking (in de niet-standaard is het al gegeven). Onthoud dat k = f (h), dat wil zeggen dat je k kunt vinden door de gevonden waarde van h in plaats van "x" in de oorspronkelijke vergelijking in te vullen.
   • Je hebt gevonden dat h = -4 (voor de standaardvergelijking). Om k te berekenen, vervangt u deze waarde door "x":
     • k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.
     • k = 2 (16) - 64 + 39.
     • k = 32 - 64 + 39 = 7
   • In een niet-standaardvergelijking is k = 12.
5. 5 Teken een hoekpunt met coördinaten (h, k) op het coördinatenvlak. h is uitgezet langs de X-as en k is uitgezet langs de Y-as De bovenkant van een parabool is ofwel het laagste punt (als de parabool naar boven wijst) of het hoogste punt (als de parabool naar beneden wijst).
   • In ons standaardvergelijkingsvoorbeeld heeft het hoekpunt coördinaten (-4, 7). Teken dit punt op het coördinatenvlak.
   • In ons voorbeeld van een aangepaste vergelijking heeft het hoekpunt coördinaten (5, 12). Teken dit punt op het coördinatenvlak.
6. 6 Teken de symmetrieas van de parabool (optioneel). De symmetrie-as gaat door de top van de parabool evenwijdig aan de Y-as (dat wil zeggen strikt verticaal). De symmetrie-as verdeelt de parabool in tweeën (dat wil zeggen, de parabool is spiegelsymmetrisch om deze as).
   • In ons voorbeeld van een standaardvergelijking is de symmetrieas een rechte lijn evenwijdig aan de Y-as en door het punt (-4, 7). Hoewel deze lijn geen onderdeel is van de parabool zelf, geeft het een idee van de symmetrie van de parabool.
7. 7 Bepaal de richting van de parabool - omhoog of omlaag. Dit is heel gemakkelijk te doen.Als de coëfficiënt "a" positief is, dan is de parabool naar boven gericht, en als de coëfficiënt "a" negatief is, dan is de parabool naar beneden gericht.
   • In ons voorbeeld van de standaardvergelijking, f (x) = 2x + 16x + 39, wijst de parabool naar boven, aangezien a = 2 (positieve coëfficiënt).
   • In ons voorbeeld van een niet-standaard vergelijking f (x) = 4 (x - 5) + 12, is de parabool ook naar boven gericht, aangezien a = 4 (positieve coëfficiënt).
8. 8 Lokaliseer en plot zo nodig het x-snijpunt. Deze punten zullen je veel helpen bij het tekenen van een parabool. Er kunnen er twee zijn, één of geen (als de parabool naar boven is gericht en het hoekpunt boven de X-as ligt, of als de parabool naar beneden is gericht en het hoekpunt onder de X-as ligt). Ga als volgt te werk om de coördinaten van de snijpunten met de X-as te berekenen:
   • Stel de vergelijking in op nul: f (x) = 0 en los het op. Deze methode werkt met eenvoudige kwadratische vergelijkingen (vooral niet-standaardvergelijkingen), maar kan uiterst moeilijk zijn voor complexe vergelijkingen. In ons voorbeeld:
     • f (x) = 4 (x - 12) - 4
     • 0 = 4 (x - 12) - 4
     • 4 = 4 (x - 12)
     • 1 = (x - 12)
     • √1 = (x - 12)
     • +/- 1 = x -12. De snijpunten van de parabool met de X-as hebben coördinaten (11,0) en (13,0).
   • Factor de kwadratische vergelijking in standaardvorm: ax + bx + c = (dx + e) ​​​​(fx + g), waarbij dx × fx = ax, (dx × g + fx × e) = bx, e × g = C. Stel vervolgens elke binomiaal in op 0 en zoek de waarden voor "x". Bijvoorbeeld:
     • x + 2x + 1
     • = (x + 1) (x + 1)
     • In dit geval is er één snijpunt van de parabool met de x-as met coördinaten (-1,0), want bij x + 1 = 0 x = -1.
   • Als u de vergelijking niet kunt ontbinden, los deze dan op met de kwadratische formule: x = (-b +/- √ (b - 4ac)) / 2a.
     • Bijvoorbeeld: -5x + 1x + 10.
     • x = (-1 +/- √ (1 - 4 (-5) (10))) / 2 (-5)
     • x = (-1 +/- (1 + 200)) / - 10
     • x = (-1 +/- (201)) / - 10
     • x = (-1 +/- 14,18) / - 10
     • x = (13,18 / -10) en (-15,18 / -10). De snijpunten van de parabool met de X-as hebben coördinaten (-1.318,0) en (1.518,0).
     • In ons voorbeeld zijn de vergelijkingen van de standaardvorm 2x + 16x + 39:
     • x = (-16 +/- (16 - 4 (2) (39))) / 2 (2)
     • x = (-16 +/- (256 - 312)) / 4
     • x = (-16 +/- (-56) / - 10
     • Omdat het onmogelijk is om de vierkantswortel van een negatief getal te extraheren, snijdt de parabool in dit geval de X-as niet.
9. 9 Lokaliseer en plot het y-snijpunt indien nodig. Het is heel eenvoudig - plug x = 0 in de oorspronkelijke vergelijking en zoek de waarde voor "y". Het Y-snijpunt is altijd hetzelfde. Opmerking: in de vergelijkingen van de standaardvorm heeft het snijpunt coördinaten (0, s).
   • Bijvoorbeeld, de parabool van de kwadratische vergelijking 2x + 16x + 39 snijdt de Y-as op het punt met coördinaten (0, 39), aangezien c = 39. Maar dit kan worden berekend:
     • f (x) = 2x + 16x + 39
     • f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39
     • f (x) = 39, dat wil zeggen, de parabool van deze kwadratische vergelijking snijdt de Y-as op het punt met coördinaten (0, 39).
   • In ons voorbeeld van een niet-standaard vergelijking 4 (x - 5) + 12, wordt het y-snijpunt als volgt berekend:
     • f (x) = 4 (x - 5) + 12
     • f (x) = 4 (0 - 5) + 12
     • f (x) = 4 (-5) + 12
     • f (x) = 4 (25) + 12
     • f (x) = 112, dat wil zeggen, de parabool van deze kwadratische vergelijking snijdt de Y-as op het punt met coördinaten (0, 112).
10. 10 Je hebt het hoekpunt van de parabool, de richting en de snijpunten met de X- en Y-as gevonden (en geplot). U kunt van deze punten parabolen bouwen of extra punten zoeken en plotten en pas daarna een parabool bouwen. Om dit te doen, plugt u meerdere x-waarden in (aan weerszijden van het hoekpunt) in de oorspronkelijke vergelijking om de bijbehorende y-waarden te berekenen.
    • Laten we terugkeren naar de vergelijking x + 2x + 1. Je weet al dat het snijpunt van de grafiek van deze vergelijking met de X-as het punt met coördinaten (-1,0) is. Als de parabool slechts één snijpunt met de X-as heeft, dan is dit het hoekpunt van de parabool dat op de X-as ligt. In dit geval is één punt niet voldoende om een ​​regelmatige parabool te bouwen. Zoek dus nog wat extra punten.
      • Laten we zeggen x = 0, x = 1, x = -2, x = -3.
      • x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. Puntcoördinaten: (0,1).
      • x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. Puntcoördinaten: (1,4).
      • x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. Puntcoördinaten: (-2,1).
      • x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. Puntcoördinaten: (-3,4).
      • Teken deze punten op het coördinatenvlak en teken een parabool (verbind de punten met een U-curve). Houd er rekening mee dat de parabool absoluut symmetrisch is - elk punt op de ene tak van de parabool kan worden gespiegeld (ten opzichte van de symmetrie-as) op de andere tak van de parabool. Dit bespaart u tijd, omdat u de coördinaten van de punten op beide takken van de parabool niet hoeft te berekenen.

Tips

• Rond getallen met breuken af ​​(als dit de eis van een leraar is) - zo bouw je een correcte parabool.
• Als in f (x) = ax + bx + c de coëfficiënten b of c gelijk zijn aan nul, dan zijn er geen termen met deze coëfficiënten in de vergelijking.Bijvoorbeeld, 12x + 0x + 6 wordt 12x + 6 omdat 0x 0 is.