Inhoud

• Stappen
• Deel 1 van 3: De derdemachtswortel extraheren met een eenvoudig voorbeeld
• Deel 2 van 3: Kubuswortelschatting
• Deel 3 van 3: Het beschreven berekeningsproces uitleggen
• Tips
• Waarschuwingen
• Wat heb je nodig

Als je een rekenmachine bij de hand hebt, kun je eenvoudig de derdemachtswortel van een willekeurig getal extraheren. Maar als je geen rekenmachine hebt, of als je gewoon indruk wilt maken op anderen, extraheer dan handmatig de derdemachtswortel. Voor de meeste mensen zal het hier beschreven proces nogal ingewikkeld lijken, maar met de praktijk zal het veel gemakkelijker worden om kubuswortels te extraheren. Voordat u dit artikel begint te lezen, moet u de elementaire wiskundige bewerkingen en berekeningen met getallen in een kubus onthouden.

Stappen

Deel 1 van 3: De derdemachtswortel extraheren met een eenvoudig voorbeeld

1. 1 Schrijf de taak op. Handmatige extractie van kubuswortels is vergelijkbaar met staartdeling, maar met enkele nuances. Schrijf eerst de taak op in een specifieke vorm.
   • Noteer het getal waaruit u de derdemachtswortel wilt extraheren. Verdeel het getal in groepen van drie cijfers en begin met tellen met een komma. U moet bijvoorbeeld de derdemachtswortel van 10 extraheren. Schrijf het getal als volgt: 10.000.000. Extra nullen worden gebruikt om de nauwkeurigheid van het resultaat te verbeteren.
   • Teken een wortelteken naast en boven het getal. Stel je voor dat dit de horizontale en verticale lijnen zijn die je in staartdeling tekent. Het enige verschil is de vorm van de twee karakters.
   • Plaats een decimaalteken boven de horizontale lijn. Doe dit direct boven de komma van het oorspronkelijke getal.
2. 2 Onthoud de resultaten van het in blokjes maken van gehele getallen. Ze zullen worden gebruikt in berekeningen.
   • ${ weergavestijl 1 ^ {3} = 1 * 1 * 1 = 1}$
   • ${ weergavestijl 2 ^ {3} = 2 * 2 * 2 = 8}$
   • ${ weergavestijl 3 ^ {3} = 3 * 3 * 3 = 27}$
   • ${ weergavestijl 4 ^ {3} = 4 * 4 * 4 = 64}$
   • ${ weergavestijl 5 ^ {3} = 5 * 5 * 5 = 125}$
   • ${ weergavestijl 6 ^ {3} = 6 * 6 * 6 = 216}$
   • ${ weergavestijl 7 ^ {3} = 7 * 7 * 7 = 343}$
   • ${ weergavestijl 8 ^ {3} = 8 * 8 * 8 = 512}$
   • ${ weergavestijl 9 ^ {3} = 9 * 9 * 9 = 729}$
   • ${ weergavestijl 10 ^ {3} = 10 * 10 * 10 = 1000}$
3. 3 Zoek het eerste cijfer van het antwoord. Selecteer een integer-kubus die het dichtst bij maar kleiner is dan de eerste groep van drie cijfers.
   • In ons voorbeeld is de eerste groep van drie cijfers 10. Zoek de grootste kubus die kleiner is dan 10. Die kubus is 8 en de derdemachtswortel van 8 is 2.
   • Schrijf boven de horizontale lijn boven het getal 10 het getal 2. Schrijf vervolgens de waarde van de bewerking op ${ weergavestijl 2 ^ {3}}$ = 8 onder 10. Trek een lijn en trek 8 van 10 af (zoals bij staartdeling). Het resultaat is 2 (dit is de eerste rest).
   • U heeft dus het eerste cijfer van het antwoord gevonden. Overweeg of het gegeven resultaat nauwkeurig genoeg is. In de meeste gevallen zal dit een zeer ruw antwoord zijn. Kub het resultaat om te zien hoe dicht het bij het oorspronkelijke getal ligt. In ons voorbeeld: ${ weergavestijl 2 ^ {3}}$ = 8, wat niet erg dicht bij 10 ligt, dus de berekeningen moeten worden voortgezet.
4. 4 Zoek het volgende cijfer van het antwoord. Voeg de tweede groep van drie getallen toe aan de eerste rest en trek een verticale lijn links van het resulterende getal. Met behulp van het resulterende getal vindt u het tweede cijfer van het antwoord. In ons voorbeeld moet de tweede groep van drie cijfers (000) worden opgeteld bij de eerste rest (2) om het getal 2000 te krijgen.
   • Links van de verticale lijn schrijf je drie getallen, waarvan de som gelijk is aan een eerste factor. Laat lege ruimtes voor deze nummers, en zet plustekens ertussen.
5. 5 Zoek de eerste term (van de drie). Noteer in de eerste lege ruimte het resultaat van de vermenigvuldiging van 300 met het kwadraat van het eerste cijfer van het antwoord (het staat boven het grondteken). In ons voorbeeld is het eerste cijfer van het antwoord 2, dus 300 * (2 ^ 2) = 300 * 4 = 1200. Schrijf 1200 in de eerste spatie. De eerste term is 1200 (plus nog twee nummers om te vinden).
6. 6 Zoek het tweede cijfer van het antwoord. Zoek uit welk getal je nodig hebt om 1200 te vermenigvuldigen zodat het resultaat dichtbij is, maar niet groter is dan 2000. Dit getal kan alleen 1 zijn, aangezien 2 * 1200 = 2400, wat meer is dan 2000. Schrijf 1 (tweede cijfer van de antwoord) na 2 en decimale komma boven het grondteken.
7. 7 Zoek de tweede en derde termen (van de drie). De factor bestaat uit drie getallen (termen), waarvan je de eerste al gevonden hebt (1200). Nu moeten we de resterende twee termen vinden.
   • Vermenigvuldig 3 bij 10 en met elk cijfer van het antwoord (ze staan ​​boven het grondteken). In ons voorbeeld: 3 * 10 * 2 * 1 = 60. Tel dit resultaat op bij 1200 en krijg 1260.
   • Maak tot slot het laatste cijfer van uw antwoord vierkant. In ons voorbeeld is het laatste cijfer van het antwoord 1, dus 1 ^ 2 = 1. Dus de eerste factor is de som van de volgende getallen: 1200 + 60 + 1 = 1261. Schrijf dit getal links van de verticale balk .
8. 8 Vermenigvuldigen en aftrekken. Vermenigvuldig het laatste cijfer van het antwoord (in ons voorbeeld is het 1) met de gevonden factor (1261): 1 * 1261 = 1261. Schrijf dit getal onder 2000 en trek het af van 2000. Je krijgt 739 (dit is de tweede rest).
9. 9 Overweeg of het antwoord dat u hebt ontvangen nauwkeurig genoeg is. Doe dit elke keer dat u de volgende aftrekking voltooit. Na de eerste aftrekking was het antwoord 2, wat geen exact resultaat is. Na de tweede aftrekking is het antwoord 2.1.
   • Om de juistheid van het antwoord te controleren, gebruikt u het: 2.1 * 2.1 * 2.1 = 9.261.
   • Als u denkt dat het antwoord nauwkeurig genoeg is, hoeft u niet verder te rekenen; doe anders nog een aftrekking.
10. 10 Zoek de tweede factor. Herhaal de bovenstaande stappen om uw berekeningen te oefenen en een nauwkeuriger resultaat te krijgen.
    • Voeg de derde groep van drie cijfers (000) toe aan de tweede rest (739). U krijgt het nummer 739000.
    • Vermenigvuldig 300 met het kwadraat van het getal boven het grondteken (21): ${ displaystyle 300 * 21 ^ {2}}$ = 132300.
    • Zoek het derde cijfer van het antwoord. Zoek uit welk getal je nodig hebt om 132300 te vermenigvuldigen zodat het resultaat dichtbij is, maar niet hoger is dan 739000. Dat getal is 5: 5 * 132200 = 661500. Schrijf 5 (derde cijfer van het antwoord) na 1 boven het grondteken.
    • Vermenigvuldig 3 bij 10 bij 21 en met het laatste cijfer van het antwoord (ze staan ​​boven het grondteken). In ons voorbeeld: ${ weergavestijl 3 * 21 * 5 * 10 = 3150}$.
    • Maak tot slot het laatste cijfer van uw antwoord vierkant. In ons voorbeeld is het laatste cijfer van het antwoord 5, dus ${ weergavestijl 5 ^ {2} = 25.}$
    • De tweede factor is dus: 132300 + 3150 + 25 = 135.475.
11. 11 Vermenigvuldig het laatste cijfer van uw antwoord met de tweede factor. Nadat u de tweede factor en het derde cijfer van het antwoord hebt gevonden, gaat u als volgt te werk:
    • Vermenigvuldig het laatste cijfer van het antwoord met de gevonden factor: 135475 * 5 = 677375.
    • Aftrekken: 739000 - 677375 = 61625.
    • Overweeg of het antwoord dat u hebt ontvangen nauwkeurig genoeg is. Om dit te doen, kubus het: ${ displaystyle 2.15 * 2.15 * 2.15 = 9.94}$.
12. 12 Schrijf je antwoord op. Het resultaat dat boven het grondteken wordt geschreven, is het antwoord met twee decimalen. In ons voorbeeld is de derdemachtswortel van 10 2,15. Controleer je antwoord door het in blokjes te verdelen: 2,15 ^ 3 = 9,94, wat ongeveer 10 is. Als je meer precisie nodig hebt, ga dan verder met de berekening (zoals hierboven beschreven).

Deel 2 van 3: Kubuswortelschatting

1. 1 Gebruik kubussen van getallen om de boven- en ondergrens te bepalen. Als je de derdemachtswortel van bijna elk getal moet extraheren, zoek dan kubussen (sommige getallen) die dicht bij het gegeven getal liggen.
   • U moet bijvoorbeeld de derdemachtswortel van 600 extraheren. Aangezien ${ weergavestijl 8 ^ {3} = 512}$ en ${ weergavestijl 9 ^ {3} = 729}$, dan ligt de derdemachtswortel van 600 tussen 8 en 9. Gebruik daarom 512 en 729 als boven- en ondergrens van je antwoord.
2. 2 Schat het tweede getal. Je hebt het eerste getal gevonden dankzij je kennis van de kubussen van gehele getallen. Zet nu een geheel getal om in een decimale breuk door er (achter de komma) een cijfer van 0 tot 9 aan toe te kennen. Je moet een decimale breuk vinden, waarvan de derde macht dichtbij zal zijn, maar kleiner dan het oorspronkelijke getal.
   • In ons voorbeeld ligt het getal 600 tussen 512 en 729. Voeg bijvoorbeeld bij het eerst gevonden getal (8) het getal 5 toe. Je krijgt het getal 8.5.
3. 3 Schat het resulterende getal door het in een kubus te bouwen. Doe dit om te controleren of de kubus dichtbij maar niet groter is dan het oorspronkelijke getal.
   • In ons voorbeeld: ${ displaystyle 8.5 * 8.5 * 8.5 = 614.1.}$
4. 4 Evalueer indien nodig een ander nummer. Vergelijk de derde macht van het resulterende getal met het oorspronkelijke getal. Als de kubus van het resulterende getal groter is dan het oorspronkelijke getal, probeer dan een lager getal te evalueren. Als de kubus van het resulterende getal veel kleiner is dan het oorspronkelijke getal, evalueer dan de grote getallen totdat de kubus van een van hen het oorspronkelijke getal overschrijdt.
   • In ons voorbeeld: ${ weergavestijl 8.5 ^ {3}}$ > 600. Schat dus het kleinere getal 8.4. Kubus dit getal en vergelijk het met het originele getal: ${ displaystyle 8.4 * 8.4 * 8.4 = 592,7}$... Dit resultaat is lager dan het oorspronkelijke aantal. De derdemachtswortel van 600 ligt dus tussen 8,4 en 8,5.
5. 5 Evalueer het volgende getal om de nauwkeurigheid van uw antwoord te verbeteren. Voor elk nummer dat je als laatste hebt beoordeeld, voeg je een nummer van 0 tot 9 toe totdat je het exacte antwoord krijgt. In elke evaluatieronde moet je de boven- en ondergrens vinden waartussen het oorspronkelijke aantal ligt.
   • In ons voorbeeld: ${ weergavestijl 8.4 ^ {3} = 592,7}$ en ${ weergavestijl 8.5 ^ {3} = 614.1}$... Het oorspronkelijke getal 600 ligt dichter bij 592 dan bij 614. Voeg daarom bij het laatste getal dat je hebt geschat een cijfer toe dat dichter bij 0 ligt dan bij 9. Dit getal is bijvoorbeeld 4. Gebruik daarom het getal 8,44.
6. 6 Evalueer indien nodig een ander nummer. Vergelijk de derde macht van het resulterende getal met het oorspronkelijke getal. Als de kubus van het resulterende getal groter is dan het oorspronkelijke getal, probeer dan een lager getal te evalueren. Kortom, je moet twee getallen vinden waarvan de kubussen iets groter en iets kleiner zijn dan het oorspronkelijke getal.
   • In ons voorbeeld ${ displaystijl 8.44 * 8.44 * 8.44 = 601.2}$... Dit is iets groter dan het oorspronkelijke getal, dus evalueer een ander (kleiner) getal, bijvoorbeeld 8.43: ${ displaystyle 8.43 * 8.43 * 8.43 = 599.07}$... De derdemachtswortel van 600 ligt dus tussen 8,43 en 8,44.
7. 7 Volg dit proces totdat u een voor u bevredigend antwoord krijgt. Evalueer het volgende getal, vergelijk het met het origineel, evalueer indien nodig een ander getal, enzovoort. Merk op dat elk extra cijfer achter de komma de nauwkeurigheid van uw antwoord vergroot.
   • In ons voorbeeld is de kubus van het getal 8.43 kleiner dan het oorspronkelijke getal met minder dan 1. Als je meer precisie nodig hebt, kubus het getal 8.434 en krijg dat ${ weergavestijl 8.434 ^ {3} = 599,93}$, dat wil zeggen, het resultaat is minder dan 0,1 minder dan het oorspronkelijke getal.

Deel 3 van 3: Het beschreven berekeningsproces uitleggen

1. 1 Denk aan de binominale reeks. Een binomiale reeks is het resultaat van het verheffen van een binomiaal (binomiaal) tot een bepaalde macht, in dit geval tot een kubus. Om het hier beschreven algoritme voor extractie van de derdemachtswortel te begrijpen, onthoud eerst hoe een binomiaal een kubus is. De kans is groot dat je dit op school hebt geleerd (en waarschijnlijk snel bent vergeten, zoals de meeste mensen doen). Variabelen ${ weergavestijl A}$ en ${ weergavestijl B}$ markeer enkele enkele cijfers. Dan kan het tweecijferige getal worden geschreven als een binomiaal ${ weergavestijl (10A + B)}$.
   • Hier het lid ${ weergavestijl 10A}$ vertegenwoordigt de plaats van de tientallen, dat wil zeggen, als ${ weergavestijl A}$ Is een enkelcijferig nummer dan? ${ weergavestijl 10A}$ - dit is al het bijbehorende tweecijferige nummer. Bijvoorbeeld, als ${ weergavestijl A}$ = 2, en ${ weergavestijl B}$ = 6, dan ${ weergavestijl (10A + B)}$ = 26, dat wil zeggen, je hebt een tweecijferig getal 26.
2. 2 Kubus de binomiaal. Doe dit om het extractieproces van de derdemachtswortel te begrijpen dat in de eerste sectie wordt beschreven. Berekenen ${ weergavestijl (10A + B) ^ {3}}$ = ${ displaystyle (10A + B) * (10A + B) * (10A + B)}$ = ${ displaystyle 1000A ^ {3} + 300A ^ {2} B + 30AB ^ {2} + B ^ {3}}$ (hier hebben we verschillende fasen van kubusconstructie weggelaten, om het artikel niet vol te proppen met berekeningen).
   • Een uitgebreide uitleg vind je hier.
3. 3 Begrijp het staartdelingsalgoritme. Merk op dat de hier beschreven methode van de derdemachtswortel erg lijkt op staartdeling. Bij het delen in een kolom moet je het getal (quotiënt) vinden, vermenigvuldigd met de deler, krijg je het dividend. In de beschreven methode wordt het resultaat van het extraheren van de derdemachtswortel (het staat boven het wortelteken) als het quotiënt gebruikt. Dat wil zeggen, het resultaat van het extraheren van de derdemachtswortel kan worden weergegeven als een binomiaal (10A + B). De exacte waarden van A en B zijn in dit stadium niet belangrijk: onthoud alleen dat het resultaat als een binomiaal kan worden geschreven.
4. 4 Kijk naar het binomiaal bereik. Het is de som van vier monomials, waardoor u het werkingsprincipe van het kubuswortelextractie-algoritme kunt begrijpen. Houd er rekening mee dat de vermenigvuldiger voor elke stap van het extraheren van de wortel gelijk is aan de som van de vier termen die moeten worden berekend en toegevoegd.
   • De factor voor de eerste term is 1000. Om het eerste cijfer van het antwoord te berekenen, zoekt u eerst de derde macht van een geheel getal dat het dichtst bij maar kleiner is dan een bepaald getal (namelijk de eerste groep van drie cijfers). Dit definieert het 1000A ^ 3-lid van de binominale reeks.
   • De vermenigvuldiger van de tweede term van de binominale reeks is het getal 300 (${ weergavestijl 3 * 10 ^ {2}}$ = 300). Bedenk dat in elke fase van de extractie van de derdemachtswortel de corresponderende cijfers van het antwoord met 300 werden vermenigvuldigd.
   • De tweede term in elke fase van wortelextractie wordt bepaald door de derde term van de binominale reeks, die gelijk is aan 30AB ^ 2.
   • De derde term in elke fase van wortelextractie wordt bepaald door de vierde term van de binominale reeks, die gelijk is aan B ^ 3.
5. 5 Let op de toename van de nauwkeurigheid van het antwoord. Hoe meer stadia van wortelextractie u doorloopt, hoe nauwkeuriger het antwoord zal zijn. In dit artikel moest u bijvoorbeeld de derdemachtswortel van 10 extraheren. In de eerste fase is het antwoord 2, aangezien ${ weergavestijl 2 ^ {3}}$ = 8, wat dichtbij is, maar minder dan 10. In de tweede fase is het antwoord 2,1, omdat ${ weergavestijl 2.1 ^ {3} = 9.261}$, wat veel dichter bij 10 ligt. In de derde fase is het antwoord 2,15, aangezien ${ weergavestijl 2.15 ^ {3} = 9.94}$... U kunt de berekening voortzetten met groepen van drie cijfers om de nauwkeurigheid van uw antwoord te verbeteren.

Tips

• Oefen om de beschreven methoden onder de knie te krijgen. Hoe meer je oefent, hoe sneller je door de berekeningen komt.

Waarschuwingen

• Het is vrij eenvoudig om een ​​fout te maken in het rekenproces. Check dus zeker het antwoord.

Wat heb je nodig

• Pen of potlood
• Papier
• Heerser
• Gom