Inhoud

• Stappen
• Methode 1 van 3: Begrijp de probleemstelling
• Methode 2 van 3: Formuleer het bewijs
• Methode 3 van 3: Schrijf het bewijs op
• Tips

Het vinden van een wiskundig bewijs kan een ontmoedigende taak zijn, maar het kennen van de wiskunde en het schrijven van het bewijs zal u helpen. Helaas zijn er geen snelle en gemakkelijke methoden om wiskundige problemen te leren oplossen. Het is noodzakelijk om het onderwerp goed te bestuderen en de basisstellingen en definities te onthouden die nuttig voor u zullen zijn bij het bewijzen van een bepaald wiskundig postulaat. Bestudeer voorbeelden van wiskundige bewijzen en oefen jezelf om je te helpen je vaardigheden te verbeteren.

Stappen

Methode 1 van 3: Begrijp de probleemstelling

1. 1 Bepaal wat je wilt vinden. De eerste stap is om erachter te komen wat er precies moet worden bewezen. Dit bepaalt onder meer de laatste stelling in je bewijs. In deze fase moet je ook bepaalde aannames doen waarbinnen je gaat werken. Om het probleem beter te begrijpen en op te lossen, moet u uitzoeken wat u moet bewijzen en de nodige aannames doen.
2. 2 Teken een tekening. Bij het oplossen van wiskundige problemen is het soms handig om ze in de vorm van een afbeelding of diagram weer te geven. Dit is vooral belangrijk in het geval van geometrische problemen - de tekening helpt om de toestand te visualiseren en vergemakkelijkt het zoeken naar een oplossing enorm.
   • Gebruik bij het maken van een afbeelding of diagram de gegevens in de voorwaarde. Markeer de bekende en onbekende hoeveelheden in de figuur.
   • De tekening maakt het voor u gemakkelijker om het bewijs te vinden.
3. 3 Bestudeer bewijzen van soortgelijke stellingen. Als je niet meteen een oplossing kunt vinden, zoek dan vergelijkbare stellingen en kijk hoe ze worden bewezen.
   • Merk op dat u voor elke stap van het bewijs een reden moet geven. Bekijk hoe verschillende stellingen worden bewezen op internet of in wiskundeboeken.
4. 4 Vragen stellen. Het is niet erg als het je niet lukt om meteen bewijs te vinden.Als je ergens onduidelijk over bent, vraag het dan aan je leraar of klasgenoten. Misschien hebben je kameraden dezelfde vragen en kun je ze samen oplossen. Het is beter om een ​​paar vragen te stellen dan te proberen en tevergeefs bewijzen te vinden over en weer.
   • Ga na de lessen naar de leraar en zoek eventuele onduidelijke vragen op.

Methode 2 van 3: Formuleer het bewijs

1. 1 Formuleer een wiskundig bewijs. Een wiskundig bewijs is een reeks uitspraken ondersteund door stellingen en definities die een wiskundig postulaat bewijzen. Bewijzen zijn de enige manier om te bepalen of een bewering wiskundig correct is.
   • Het vermogen om wiskundige bewijzen op te schrijven getuigt van een diep begrip van het probleem en beheersing van de benodigde hulpmiddelen (lemma's, stellingen en definities).
   • Rigoureus bewijs kan je helpen om met een frisse blik naar wiskunde te kijken en een gevoel te krijgen voor de fascinatie ervan. Probeer maar eens een bewering te bewijzen om een ​​idee te krijgen van wiskundige methoden.
2. 2 Denk aan je publiek. Voordat u begint met het vastleggen van bewijs, moet u nadenken over voor wie het is en rekening houden met het kennisniveau van deze mensen. Als je bewijs voor verdere publicatie opschrijft in een wetenschappelijk tijdschrift, is dat anders dan wanneer je een schoolopdracht maakt.
   • Als u uw doelgroep kent, kunt u het bewijs opschrijven terwijl u uw lezers traint om het te begrijpen.
3. 3 Bepaal het soort bewijs. Er zijn verschillende soorten wiskundige bewijzen, en de keuze voor een specifieke vorm hangt af van de doelgroep en het probleem dat wordt opgelost. Als je niet zeker weet welke soort je moet kiezen, neem dan contact op met je leraar. Op de middelbare school is een bewijs van twee kolommen vereist.
   • Bij het schrijven van bewijs in twee kolommen, registreert men de initiële gegevens en verklaringen, en de tweede - het overeenkomstige bewijs van deze verklaringen. Deze vorm van notatie wordt vaak gebruikt bij het oplossen van geometrische problemen.
   • Bij een minder formele manier van bewijsvoering worden grammaticaal correcte constructies en minder symbolen gebruikt. Op hogere niveaus is dit de notatie die moet worden gebruikt.
4. 4 Schets het bewijs in twee kolommen. Dit formulier helpt om gedachten te ordenen en het probleem consequent op te lossen. Verdeel de pagina in tweeën met een verticale lijn en schrijf je originele gegevens en de uitspraken die erop volgen aan de linkerkant. Noteer de bijbehorende definities en stellingen aan de rechterkant van elke stelling.
   • Bijvoorbeeld:
   • hoeken A en B zijn aangrenzend - gegeven;
   • hoek ABC is afgeplat - definieert een afgeplatte hoek;
   • de hoek ABC is 180 ° - het definiëren van een rechte lijn;
   • hoek A + hoek B = hoek ABC - de regel voor het optellen van hoeken;
   • hoek A + hoek B = 180 ° - substitutie;
   • hoek A is complementair aan hoek B - definitie van extra hoeken;
   • QED
5. 5 Noteer het bewijs met twee kolommen als een informeel bewijs. Gebruik een invoer met twee kolommen als basis en schrijf het bewijs in een kortere vorm met minder symbolen en afkortingen.
   • Bijvoorbeeld: stel dat hoeken A en B aangrenzend zijn. Volgens de hypothese vullen deze hoeken elkaar aan. Als ze aangrenzend zijn, vormen hoek A en hoek B een rechte lijn. Als de zijkanten van de hoek een rechte lijn vormen, is de hoek 180°. Voeg hoeken A en B toe om een ​​rechte lijn ABC te maken. De som van de hoeken A en B is dus 180 °, dat wil zeggen dat deze hoeken complementair zijn. QED

Methode 3 van 3: Schrijf het bewijs op

1. 1 Leer de taal van het bewijs. Standaarduitspraken en -zinnen worden gebruikt om wiskundige bewijzen te schrijven. Je moet deze zinnen leren en weten hoe je ze moet gebruiken.
   • De zinsnede "Als A, dan B" betekent dat als uitspraak A waar is, uitspraak B ook waar moet zijn.
   • "A als en slechts als B" betekent dat beweringen A en B tegelijkertijd waar of onwaar zijn. Deze constructie komt overeen met twee gelijktijdige uitspraken: "Als A, dan B" en "Als A faalt, dan geldt B niet".
   • "A alleen als B" is gelijk aan "Als B, dan A", dus deze constructie is niet gebruikelijk. Toch is het noodzakelijk eraan te herinneren.
   • Probeer bij het opnemen van bewijs "wij" te gebruiken in plaats van het persoonlijke voornaamwoord "ik".
2. 2 Schrijf alle originele gegevens op. Bij het samenstellen van een bewijs is het eerste wat u moet doen, alles definiëren en opschrijven wat in het probleem wordt gegeven. In dit geval heeft u alle initiële gegevens voor ogen op basis waarvan u een beslissing moet nemen. Lees de probleemstelling goed door en schrijf alles op wat erin staat.
   • Bijvoorbeeld: bewijs dat twee aangrenzende hoeken (hoek A en hoek B) elkaar aanvullen.
   • Gegeven: aangrenzende hoeken A en B.
   • Bewijs: hoek A is complementair aan hoek B.
3. 3 Definieer alle variabelen. Naast het vastleggen van de originele data is het ook handig om de rest van de variabelen weg te schrijven. Om het de lezer gemakkelijker te maken, noteert u de variabelen helemaal aan het begin van het bewijs. Als er geen variabelen zijn gedefinieerd, kan de lezer in de war raken en uw bewijs niet begrijpen.
   • Gebruik geen voorheen ongedefinieerde variabelen tijdens het bewijs.
   • Bijvoorbeeld: in het hierboven besproken probleem zijn de variabelen de waarden van de hoeken A en B.
4. 4 Probeer het bewijs in omgekeerde volgorde te vinden. Veel problemen zijn in omgekeerde volgorde gemakkelijker op te lossen. Begin met wat je moet bewijzen en bedenk hoe je de conclusies kunt verbinden met de beginvoorwaarde.
   • Herlees de begin- en eindstappen en kijk of ze op elkaar lijken. Gebruik daarbij de beginvoorwaarden, definities en soortgelijke bewijzen van andere problemen.
   • Stel jezelf vragen en ga verder. Om individuele uitspraken te bewijzen, vraagt ​​u zich af: "Waarom is dit het geval?" - en: "Zou het mis kunnen zijn?"
   • Vergeet niet om de afzonderlijke stappen opeenvolgend op te schrijven totdat u het eindresultaat krijgt.
   • Bijvoorbeeld: als hoeken A en B complementair zijn, moet hun som 180 ° zijn. Volgens de definitie van aangrenzende hoeken vormen hoeken A en B een rechte ABC. Aangezien de lijn een hoek van 180° vormt, tellen de hoeken A en B op tot 180°.
5. 5 Rangschik de afzonderlijke stappen van het bewijs zo dat het consistent en logisch is. Begin bij het begin en werk je weg naar een aantoonbare scriptie. Hoewel het soms handig is om aan het einde van uw zoektocht naar bewijs te beginnen, moet u bij het schrijven de juiste volgorde aanhouden. Afzonderlijke stellingen moeten de een na de ander volgen, zodat het bewijs logisch is en geen twijfel oproept.
   • Overweeg eerst de gemaakte aannames.
   • Bevestig de gedane uitspraken met eenvoudige en duidelijke stappen, zodat de lezer geen twijfels heeft over hun juistheid.
   • Soms moet je het bewijs meer dan eens herschrijven. Ga door met het groeperen van verklaringen en hun bewijsmateriaal totdat u bij de meest logische structuur komt.
   • Bijvoorbeeld: laten we bij het begin beginnen.
     • Hoeken A en B zijn aangrenzend.
     • De zijden van hoek ABC vormen een rechte lijn.
     • Hoek ABC is 180°.
     • Hoek A + Hoek B = Hoek ABC.
     • Hoek A + Hoek B = Hoek 180 °.
     • Hoek A is complementair aan hoek B.
6. 6 Gebruik geen pijlen en afkortingen in het bewijs. In het concept kunnen verschillende afkortingen en symbolen worden gebruikt, maar neem deze niet op in het definitieve concept, omdat dit de lezers in verwarring kan brengen. Gebruik in plaats daarvan woorden als "daarom" en "toen".
   • Als uitzonderingen zijn begrijpelijke afkortingen toegestaan, bijvoorbeeld “ie. e." (dat wil zeggen), gebruik ze echter op de juiste manier.
7. 7 Ondersteun elke stelling met een stelling, wet of definitie. Het bewijs moet foutloos zijn. U kunt geen ongefundeerde uitspraken doen. Bekijk hoe bewijzen worden gemaakt voor problemen die vergelijkbaar zijn met die van u.
   • Probeer het bewijs dat je vindt toe te passen op gevallen waarin het niet waar zou moeten zijn en kijk of het wel waar is. Als het bewijs in dergelijke gevallen geldig is, controleer dan waar u de fout in bent gegaan.
   • Bewijzen van geometrische problemen worden vaak in twee kolommen geschreven. Beweringen zijn aan de rechterkant geschreven en hun bewijzen aan de linkerkant. Tegelijkertijd worden in publicaties wiskundige bewijzen opgesteld in de vorm van alinea's met de juiste grammatica.
8. 8 Beëindig de bewijzen met de zin "zoals vereist om te bewijzen". Aan het einde van het bewijs moet er een bewijsbare stelling zijn. Daarna moet u schrijven "wat moest worden bewezen" (afgekort als "h. Etc." of een symbool in de vorm van een gevuld vierkant) - dit betekent dat het bewijs compleet is.
   • In het Latijn komt de uitdrukking "wat moest bewijzen" overeen met de afkorting Q.E.D. (quod erat demonstrandum, dat wil zeggen, "wat moest worden getoond").
   • Als je twijfelt over de juistheid van het bewijs, schrijf dan een paar zinnen op over tot welke conclusie je bent gekomen en waarom het belangrijk is.

Tips

• Alle informatie die in het bewijsmateriaal wordt verstrekt, moet dienen om het gestelde doel te bereiken. Neem in uw bewijs niet op wat u kunt missen.