Hoe de vergelijkingen van de asymptoten van de hyperbool te vinden?

Video: Finding the vertices, foci and asymptotes of a hyperbola

Inhoud

Stappen
Methode 1 van 2: Factoring
Methode 2 van 2: Bereken Y
Tips
Waarschuwingen

Hyperbool-asymptoten zijn rechte lijnen die door het midden van de hyperbool gaan. De hyperbool nadert de asymptoten, maar kruist (of raakt ze zelfs niet aan). Er zijn twee manieren om de vergelijkingen van de asymptoten te vinden die u zullen helpen het concept van asymptoten te begrijpen.

Stappen

Methode 1 van 2: Factoring

1 Schrijf de canonieke hyperboolvergelijking op. Laten we het eenvoudigste voorbeeld bekijken: een hyperbool, waarvan het centrum zich in de oorsprong bevindt. In dit geval heeft de canonieke hyperboolvergelijking de vorm: /_een - /_B = 1 (wanneer de takken van de hyperbool naar rechts of naar links zijn gericht) of /_B - /_een = 1 (wanneer de takken van de hyperbool omhoog of omlaag zijn gericht). Houd er rekening mee dat in deze vergelijking "x" en "y" variabelen zijn en "a" en "b" constanten (dat wil zeggen getallen).
- Voorbeeld 1:/₉ - /₁₆ = 1
- Sommige docenten en auteurs van leerboeken wisselen de constante "a" en "b" om. Bestudeer daarom de vergelijking die je hebt gekregen om te begrijpen wat wat is. Onthoud niet alleen de vergelijking - in dit geval zult u niets begrijpen als variabelen en / of constanten worden aangegeven door andere symbolen.
2 Stel de canonieke vergelijking in op nul (niet één). De nieuwe vergelijking beschrijft beide asymptoten, maar het kost wat moeite om de vergelijking voor elke asymptoot te krijgen.
- Voorbeeld 1:/₉ - /₁₆ = 0
3 Factor de nieuwe vergelijking. Factor de linkerkant van de vergelijking. Onthoud hoe u een kwadratische vergelijking ontbindt en lees verder.
- De uiteindelijke vergelijking (dat wil zeggen de gefactoriseerde vergelijking) is (__ ± __) (__ ± __) = 0.
- Bij het vermenigvuldigen van de eerste termen (binnen elk paar haakjes), zou je de term moeten krijgen /₉, dus extraheer de vierkantswortel uit dit lid en schrijf het resultaat in plaats van de eerste spatie tussen elk paar haakjes: (/₃ ± __)(/₃ ± __) = 0
- Op dezelfde manier extraheer je de vierkantswortel van de term /₁₆, en schrijf het resultaat in plaats van de tweede spatie binnen elk paar haakjes: (/₃ ± /₄)(/₃ ± /₄) = 0
- Je hebt alle termen van de vergelijking gevonden, dus schrijf binnen een paar haakjes tussen de termen een plusteken en binnen het tweede - een minteken, zodat bij vermenigvuldiging de overeenkomstige termen worden geannuleerd: (/₃ + /₄)(/₃ - /₄) = 0
4 Stel elke binomiaal (dat wil zeggen de uitdrukking binnen elk paar haakjes) in op nul en bereken "y". Dit zal twee vergelijkingen vinden die elke asymptoot beschrijven.
- Voorbeeld 1: Zoals (/₃ + /₄)(/₃ - /₄) = 0, dan /₃ + /₄ = 0 en /₃ - /₄ = 0
- Herschrijf de vergelijking als volgt: /₃ + /₄ = 0 → /₄ = - /₃ → y = - /₃
- Herschrijf de vergelijking als volgt: /₃ - /₄ = 0 → - /₄ = - /₃ → y = /₃
5 Voer de beschreven acties uit met een hyperbool waarvan de vergelijking verschilt van de canonieke. In de vorige stap heb je de vergelijkingen gevonden voor de asymptoten van de hyperbool in het midden van de oorsprong. Als het middelpunt van de hyperbool zich op een punt met coördinaten (h, k) bevindt, dan wordt dit beschreven door de volgende vergelijking: /_een - /_B = 1 of /_B - /_een = 1. Deze vergelijking kan ook worden ontbonden. Maar raak in dit geval de binomials (x - h) en (y - k) niet aan totdat u bij de laatste stap bent.
- Voorbeeld 2: /₄ - /₂₅ = 1
- Stel deze vergelijking in op 0 en ontbind deze:
- (/₂ + /₅)(/₂ - /₅) = 0
- Vergelijk elke binomiaal (dat wil zeggen, de uitdrukking binnen elk paar haakjes) tot nul en bereken "y" om de vergelijkingen voor de asymptoten te vinden:
- /₂ + /₅ = 0 → y = - /₂x + /₂
- (/₂ - /₅) = 0 → y = /₂x - /₂

Methode 2 van 2: Bereken Y

1 Isoleer de y-term aan de linkerkant van de hyperboolvergelijking. Gebruik deze methode wanneer de hyperboolvergelijking in kwadratische vorm is. Zelfs als een canonieke hyperboolvergelijking wordt gegeven, zal deze methode een beter begrip van het concept van asymptoten mogelijk maken. Isoleer y of (y - k) aan de linkerkant van de vergelijking.
- Voorbeeld 3:/₁₆ - /₄ = 1
- Voeg x toe aan beide zijden van de vergelijking en vermenigvuldig beide zijden met 16:
- (y + 2) = 16 (1 + /₄)
- Vereenvoudig de resulterende vergelijking:
- (y + 2) = 16 + 4 (x + 3)
2 Neem de vierkantswortel van elke zijde van de vergelijking. Vereenvoudig de rechterkant van de vergelijking echter niet, want als u de vierkantswortel extraheert, krijgt u twee resultaten - positief en negatief (bijvoorbeeld -2 * -2 = 4, dus √4 = 2 en √4 = -2). Gebruik het ± symbool om beide resultaten weer te geven.
- √ ((y + 2)) = √ (16 + 4 (x + 3))
- (y + 2) = ± √ (16 + 4 (x + 3))
3 Begrijp het concept van asymptoten. Doe dit voordat u doorgaat naar de volgende stap. Een asymptoot is een rechte lijn, waarnaar de hyperbool nadert met toenemende waarden van "x".De hyperbool zal de asymptoot nooit passeren, maar bij toenemende "x" zal de hyperbool de asymptoot op een oneindig kleine afstand naderen.
4 Transformeer de vergelijking om rekening te houden met grote x-waarden. In de regel wordt bij het werken met de vergelijkingen van asymptoten alleen rekening gehouden met grote waarden van "x" (dat wil zeggen, die waarden die naar oneindig neigen). Daarom kunnen bepaalde constanten in de vergelijking worden verwaarloosd, omdat hun bijdrage klein is in vergelijking met "x". Als de variabele "x" bijvoorbeeld gelijk is aan enkele miljarden, heeft het toevoegen van het getal (constante) 3 een verwaarloosbaar effect op de waarde van "x".
- In de vergelijking (y + 2) = ± √ (16 + 4 (x + 3)), aangezien "x" naar oneindig neigt, kan de constante 16 worden verwaarloosd.
- Voor grote waarden van "x" (y + 2) ≈ ± √ (4 (x + 3))
5 Bereken y om de vergelijkingen voor de asymptoten te vinden. Door de constanten te verwijderen, kunt u de radicale uitdrukking vereenvoudigen. Onthoud dat je twee vergelijkingen in je antwoord moet schrijven - een met een plusteken en de andere met een minteken.
- y + 2 = ± √ (4 (x + 3) ^ 2)
- y + 2 = ± 2 (x + 3)
- y + 2 = 2x + 6 en y + 2 = -2x - 6
- y = 2x + 4eny = -2x - 8

Tips

Onthoud dat de vergelijking van de hyperbool en de vergelijkingen van zijn asymptoten altijd constanten (constanten) bevatten.
Een gelijkzijdige hyperbool is een hyperbool in de vergelijking waarvan a = b = c (constant).
Als u een gelijkzijdige hyperboolvergelijking krijgt, converteert u deze eerst naar de canonieke vorm en zoekt u vervolgens de vergelijkingen voor de asymptoten.