Inhoud

• Stappen
• Deel 1 van 3: transponeer de matrix
• Deel 2 van 3: Transpositie-eigenschappen
• Deel 3 van 3: Hermitische geconjugeerde matrix met complexe elementen
• Tips

Als je leert hoe je matrices moet transponeren, zul je hun structuur beter begrijpen. U kent misschien al vierkante matrices en hun symmetrie om u te helpen de transpositie onder de knie te krijgen. Transpositie helpt onder andere om vectoren om te zetten in matrixvorm en om vectorproducten te vinden. Wanneer u met complexe matrices werkt, kunnen Hermitisch-geconjugeerde (conjugaat-transponeer) matrices u helpen bij het oplossen van verschillende problemen.

Stappen

Deel 1 van 3: transponeer de matrix

1. 1 Neem een ​​willekeurige matrix. Elke matrix kan worden getransponeerd, ongeacht het aantal rijen en kolommen. Meestal is het nodig om vierkante matrices met hetzelfde aantal rijen en kolommen te transponeren, dus beschouw voor de eenvoud de volgende matrix als voorbeeld:
   • de matrix EEN =
     1  2  3
     4  5  6
     7  8  9
2. 2 Stel je de eerste rij van een directe matrix voor als de eerste kolom van de getransponeerde matrix. Schrijf gewoon de eerste regel als een kolom:
   • getransponeerde matrix = A
   • eerste kolom van matrix A:
     1
     2
     3
3. 3 Doe hetzelfde voor de rest van de lijnen. De tweede rij van de oorspronkelijke matrix wordt de tweede kolom van de getransponeerde matrix. Vertaal alle rijen naar kolommen:
   • EEN =
     1  4  7
     2  5  8
     3  6  9
4. 4 Probeer een niet-vierkante matrix te transponeren. Elke rechthoekige matrix kan op dezelfde manier worden getransponeerd. Schrijf gewoon de eerste regel als de eerste kolom, de tweede regel als de tweede kolom, enzovoort. In het onderstaande voorbeeld is elke rij van de originele matrix gemarkeerd met een eigen kleur om duidelijker te maken hoe deze wordt getransformeerd bij transponeren:
   • de matrix Z =
     4  7  2  1
     3  9  8  6
   • de matrix Z =
     4  3
     7  9
     2  8
     1  6
5. 5 Laten we de transpositie uitdrukken in de vorm van een wiskundige notatie. Hoewel het idee van transpositie heel eenvoudig is, kun je het het beste opschrijven als een strikte formule. Matrixnotatie vereist geen speciale termen:
   • Stel gegeven een matrix B bestaande uit m x N elementen (m rijen en n kolommen), dan is de getransponeerde matrix B een verzameling van N x m elementen (n rijen en m kolommen).
   • Voor elk element b_xy (lijn x en kolom ja) van de matrix B in de matrix B bestaat een equivalent element b_yx (lijn ja en kolom x).

Deel 2 van 3: Transpositie-eigenschappen

1. 1 (M = M. Na dubbele transpositie wordt de originele matrix verkregen. Dit is vrij duidelijk, want wanneer je opnieuw transponeert, verander je de rijen en kolommen opnieuw, wat resulteert in de originele matrix.
2. 2 Spiegel de matrix rond de hoofddiagonaal. Vierkante matrices kunnen worden "omgedraaid" ten opzichte van de hoofddiagonaal. Bovendien zijn de elementen langs de hoofddiagonaal (van a₁₁ naar de rechterbenedenhoek van de matrix) blijven op hun plaats en de rest van de elementen verplaatsen zich naar de andere kant van deze diagonaal en blijven er op dezelfde afstand van.
   • Als je het moeilijk vindt om je deze methode voor te stellen, neem dan een stuk papier en teken een 4x4 matrix. Herschik vervolgens de zijelementen ten opzichte van de hoofddiagonaal. Traceer tegelijkertijd de elementen a₁₄ en een₄₁... Wanneer ze worden getransponeerd, moeten ze worden verwisseld zoals andere paren zijelementen.
3. 3 Transponeer de symmetrische matrix. De elementen van zo'n matrix zijn symmetrisch om de hoofddiagonaal. Als u de bovenstaande bewerking uitvoert en de symmetrische matrix "omdraait", verandert deze niet. Alle elementen zullen veranderen in gelijkaardige. In feite is dit de standaard manier om te bepalen of een bepaalde matrix symmetrisch is. Als de gelijkheid A = A geldt, dan is de matrix A symmetrisch.

Deel 3 van 3: Hermitische geconjugeerde matrix met complexe elementen

1. 1 Overweeg een complexe matrix. De elementen van een complexe matrix zijn samengesteld uit reële en imaginaire delen. Een dergelijke matrix kan ook worden getransponeerd, hoewel in de meeste praktische toepassingen geconjugeerde-getransponeerde of Hermitiaanse geconjugeerde matrices worden gebruikt.
   • Laat er een matrix gegeven zijn C =
     2+I     3-2I
     0+I     5+0I
2. 2 Vervang de elementen door complexe geconjugeerde getallen. Bij de bewerking van complexe vervoeging blijft het reële deel hetzelfde en verandert het imaginaire deel van teken in het tegenovergestelde. Laten we dit doen met alle vier de elementen van de matrix.
   • vind de complexe geconjugeerde matrix C * =
     2-I     3+2I
     0-I     5-0I
3. 3 We transponeren de resulterende matrix. Neem de gevonden complexe geconjugeerde matrix en transponeer deze eenvoudig. Als resultaat krijgen we een geconjugeerde getransponeerde (Hermitiaanse geconjugeerde) matrix.
   • de geconjugeerde getransponeerde matrix C =
     2-I        0-I
     3+2I     5-0I

Tips

• In dit artikel wordt de getransponeerde matrix ten opzichte van de matrix A aangeduid als A. Er is ook de notatie A 'of Ã.
• In dit artikel wordt de Hermitisch-geconjugeerde matrix met betrekking tot de matrix A aangeduid als A, wat een gebruikelijke notatie is in lineaire algebra. In de kwantummechanica wordt vaak de notatie A gebruikt.Soms wordt een hermitische geconjugeerde matrix geschreven in de vorm A *, maar het is beter om deze notatie te vermijden, omdat deze ook wordt gebruikt om een ​​complexe geconjugeerde matrix te schrijven.