Hoe de momentane snelheid te berekenen: 11 stappen (met foto) - Tips

Video: Natuurkunde uitleg Beweging 2: Gemiddelde snelheid berekenen

Inhoud

Stappen
Advies

Snelheid wordt gedefinieerd als de snelheid van een object in een bepaalde richting. In veel gevallen gebruiken we om de snelheid te vinden de vergelijking v = s / t, waarbij v de snelheid is, s de totale afstand van de verplaatsing van het object tot zijn oorspronkelijke positie en t de tijd die het object nodig heeft om te reizen. ga helemaal. In theorie is deze formule echter alleen voor snelheid medium van dingen onderweg. Door de snelheid van het object op een bepaald moment over de afstand te berekenen. Dat is Transporttijd en wordt bepaald door de vergelijking v = (ds) / (dt), of met andere woorden, het is de afgeleide van de vergelijking voor de gemiddelde snelheid.

Stappen

Deel 1 van 3: Bereken de momentane snelheid

Begin met een vergelijking voor het berekenen van snelheid door verplaatsingsafstand. Om de momentane snelheid te vinden, moeten we eerst een vergelijking hebben die de positie van het object (in termen van verplaatsing) op een bepaald moment aangeeft. Dat betekent dat de vergelijking maar één variabele mag hebben S aan de ene kant en draai t Aan de andere kant (niet noodzakelijk slechts één variabele), zoals deze:
s = -1,5t + 10t + 4
- In deze vergelijking zijn de variabelen:
  s = verplaatsing. De afstand die het object heeft verplaatst vanaf de oorspronkelijke positie. Als een object bijvoorbeeld 10 meter vooruit en 7 meter achteruit kan lopen, is de totale reisafstand 10 - 7 = 3 meter (niet 10 + 7 = 17m).
  t = tijd. Deze variabele is eenvoudig zonder uitleg, meestal gemeten in seconden.
Neem de afgeleide van de vergelijking. De afgeleide van de vergelijking is een andere vergelijking die de helling van de afstand op een bepaald moment laat zien. Om de afgeleide van de vergelijking door verplaatsingsafstand te vinden, neemt u het verschil van de functie volgens de volgende algemene regel om de afgeleide te berekenen: Als y = a * x, Afgeleide = a * n * x. Dit geldt voor alle termen aan de "t" -zijde van de vergelijking.
- Met andere woorden, begin het differentieel van links naar rechts aan de "t" -zijde van de vergelijking te krijgen. Elke keer dat je de variabele "t" tegenkomt, trek je de exponent af met 1 en vermenigvuldig je de term met de oorspronkelijke exponent. Alle constante termen (termen zonder "t") zullen verdwijnen omdat ze worden vermenigvuldigd met 0. Het proces is niet zo moeilijk als u misschien denkt - laten we de vergelijking in de bovenstaande stap als voorbeeld nemen:
  s = -1,5t + 10t + 4
  (2) -1,5t + (1) 10t + (0) 4t
  -3t + 10t
  -3t + 10
Vervang "s" door "ds / dt". Om aan te tonen dat de nieuwe vergelijking de afgeleide is van het originele kwadraat, vervangen we "s" door het symbool "ds / dt". In theorie is deze notatie "de afgeleide van s in termen van t". Een eenvoudigere manier om deze notatie te begrijpen, ds / dt is de helling van elk punt in de beginvergelijking. Om bijvoorbeeld de helling te vinden van de afstand die wordt beschreven door de vergelijking s = -1,5t + 10t + 4 op tijdstip t = 5, vervangen we t door "5" in de afgeleide van de vergelijking.
- In het bovenstaande voorbeeld ziet de afgeleide van de vergelijking er als volgt uit:
  ds / dt = -3t + 10
Vervang een waarde voor t in de nieuwe vergelijking om de momentane snelheid te vinden. Nu we de afgeleide vergelijking hebben, is het heel eenvoudig om de momentane snelheid op een bepaald moment te vinden. Het enige dat u hoeft te doen, is een t-waarde kiezen en deze vervangen door de afgeleide vergelijking. Als we bijvoorbeeld de momentane snelheid op t = 5 willen vinden, hoeven we alleen maar "5" te vervangen door t in de afgeleide vergelijking ds / dt = -3t + 10. We zullen de vergelijking als volgt oplossen:
ds / dt = -3t + 10
ds / dt = -3 (5) + 10
ds / dt = -15 + 10 = -5 meter / seconde
- Merk op dat we de eenheid "meter / seconde" hierboven gebruiken.Omdat we het probleem oplossen met verplaatsing in meters en tijd in seconden, waarbij snelheid precies de verplaatsing in de tijd is, is deze eenheid geschikt.
advertentie

Deel 2 van 3: Onmiddellijke snelheid grafisch schatten

Maak een grafiek van de bewegingsafstand van het object in de tijd. In het bovenstaande gedeelte zeiden we dat de afgeleide ook een formule is waarmee we de helling op elk punt in de vergelijking uit de afgeleide kunnen vinden. Als u de bewegingsafstand van het object in een grafiek laat zien, De helling van de grafiek op elk punt is de momentane snelheid van het object op dat punt.
- Om bewegingsafstanden in kaart te brengen, gebruikt u de x-as voor tijd en de y-as voor verplaatsing. Vervolgens bepaal je een aantal punten door de waarden van t in de bewegingsvergelijking te pluggen, het resultaat zijn s waarden, en je zet de punten t, s (x, y) op de grafiek.
- Merk op dat de grafiek zich onder de x-as kan uitstrekken. Als de lijn die de beweging van het object aangeeft, langs de x-as gaat, betekent dit dat het object achteruit beweegt vanuit zijn oorspronkelijke positie. Over het algemeen strekt de grafiek zich niet uit achter de y-as - we meten meestal niet de snelheid van objecten die terug in de tijd bewegen!
Selecteer een punt P en een punt Q in de buurt van punt P op de grafiek. Om de helling van de grafiek op punt P te vinden, gebruiken we de techniek van "limietvinding". Het vinden van een limiet betekent dat je twee punten (P en Q (een punt nabij P)) op de curve neemt en de helling van de lijn zoekt die deze twee punten verbindt, en dit proces herhalen naarmate de afstand tussen P en Q kleiner wordt. geleidelijk.
- Stel dat de verplaatsingsafstand punten (1; 3) en (4; 7) heeft. Als we in dit geval de helling op (1; 3) willen vinden, kunnen we instellen (1; 3) = P. en (4; 7) = Q.
Zoek de helling tussen P en Q. De helling tussen P en Q is het verschil tussen de y-waarden voor P en Q en het verschil tussen de x-waarden voor P en Q.Met andere woorden, H = (y_Q - ja_P.) / (x_Q - x_P.), waarbij H de helling tussen twee punten is. In dit voorbeeld is de helling tussen P en Q:
H = (y_Q - ja_P.) / (x_Q - x_P.)
H = (7 - 3) / (4 - 1)
H = (4) / (3) = 1,33
Herhaal dit meerdere keren door Q dichter bij P te plaatsen. Het doel is om de afstand tussen P en Q te verkleinen totdat ze een enkel punt bereiken. Hoe kleiner de afstand tussen P en Q, hoe dichter de helling van het oneindig kleine segment bij de helling in punt P zal zijn. Herhaal dit een paar keer voor onze voorbeeldvergelijking met behulp van de punten (2; 4 , 8), (1.5; 3.95) en (1.25; 3.49) geven Q en de initiële coördinaten van P zijn (1; 3):
Q = (2; 4.8): H = (4,8 - 3) / (2 - 1)
H = (1,8) / (1) = 1,8

Q = (1,5; 3,95): H = (3,95 - 3) / (1,5 - 1)
H = (0,95) / (0,5) = 1,9

Q = (1,25; 3,49): H = (3,49 - 3) / (1,25 - 1)
H = (0,49) / (0,25) = 1,96
Schat de helling van het extreem kleine segment op de grafiekcurve. Naarmate Q steeds dichter bij P komt, zal H geleidelijk dichter bij de helling bij P komen. Ten slotte, op een heel smal lijntje, zal H de helling bij P zijn. Omdat we niet kunnen meten of berekenen De lengte van een lijn is extreem klein, dus schat de helling alleen bij P als deze duidelijk zichtbaar is vanaf de punten die we berekenen.
- In het bovenstaande voorbeeld, als we H dichter bij P brengen, hebben we de waarden voor H van 1,8; 1.9 en 1.96. Aangezien deze cijfers dichter bij 2 komen, kunnen we zeggen 2 is de geschatte waarde van de helling bij P.
- Onthoud dat de helling op elk punt van de grafiek de afgeleide is van de grafiekvergelijking op dat punt. Omdat de grafiek de verplaatsing van een object in de loop van de tijd laat zien, zoals we in de vorige sectie hebben gezien, is de momentane snelheid op elk punt de afgeleide van de verplaatsingsafstand van het object op het probleempunt. Toegang, kunnen we zeggen 2 meter / sec is een geschatte schatting van de momentane snelheid wanneer t = 1.
advertentie

Deel 3 van 3: Voorbeeldprobleem

Zoek de momentane snelheid wanneer t = 1 met de verplaatsingsvergelijking s = 5t - 3t + 2t + 9. Zoals het voorbeeld in het eerste deel, maar dit is een kubiek in plaats van een kwadratisch, dus we kunnen het probleem op dezelfde manier oplossen.
- Neem eerst de afgeleide van de vergelijking:
  s = 5t - 3t + 2t + 9
  s = (3) 5t - (2) 3t + (1) 2t
  15t - 6t + 2t - 6t + 2
- Vervolgens vervangen we de waarde van t (4) in:
  s = 15t - 6t + 2
  15(4) - 6(4) + 2
  15(16) - 6(4) + 2
  240 - 24 + 2 = 22 meter per seconde
Gebruik de grafiekschattingsmethode om de momentane snelheid bij (1; 3) te vinden voor de verplaatsingsvergelijking s = 4t - t. Voor dit probleem gebruiken we coördinaten (1; 3) als punt P, maar we moeten andere Q-punten in de buurt vinden. Dan hoeven we alleen maar de H-waarden te vinden en de geschatte waarde af te leiden.
- Ten eerste vinden we Q-punten als t = 2; 1.5; 1.1 en 1.01.
  s = 4t - t
  
  t = 2: s = 4 (2) - (2)
  4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, dus Q = (2; 14)
  
  t = 1,5: s = 4 (1.5) - (1.5)
  4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, dus Q = (1,5; 7,5)
  
  t = 1,1: s = 4 (1,1) - (1,1)
  4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, dus Q = (1,1; 3,74)
  
  t = 1,01: s = 4 (1,01) - (1,01)
  4 (1,0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, dus dat is het Q = (1,01; 3,0704)
- Vervolgens krijgen we H-waarden:
  Q = (2; 14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
  H = (11) / (1) = 11
  
  Q = (1,5; 7,5): H = (7,5 - 3) / (1,5 - 1)
  H = (4,5) / (0,5) = 9
  
  Q = (1,1; 3,74): H = (3,74 - 3) / (1,1 - 1)
  H = (0,74) / (0,1) = 7,3
  
  Q = (1,01; 3,0704): H = (3.0704 - 3) / (1.01 - 1)
  H = (0,0704) / (0,01) = 7,04
- Omdat H-waarden dichter bij 7 lijken te liggen, kunnen we dat zeggen 7 meter per seconde is de geschatte schatting van de momentane snelheid op de coördinaat (1; 3).
advertentie

Advies

Om versnelling te vinden (verandering in snelheid in de tijd), gebruikt u de methode in deel één om de afgeleide van de verplaatsingsvergelijking te krijgen. Neem vervolgens opnieuw de afgeleide voor de afgeleide vergelijking die u zojuist hebt gevonden. Het resultaat is dat je een vergelijking hebt voor de versnelling op een bepaald tijdstip - het enige wat je hoeft te doen is de tijd inpluggen.
De vergelijking die de relatie tussen Y (verplaatsingsafstand) en X (tijd) laat zien, kan heel eenvoudig zijn, aangezien Y = 6x + 3. In dit geval is de helling constant en is het niet nodig om de afgeleide om de helling te berekenen, dat wil zeggen, hij volgt de basisvergelijking van Y = mx + b voor een lineaire grafiek, dwz de helling is gelijk aan 6.
De verplaatsingsafstand is als afstand maar heeft een richting, dus het is een vectorgrootheid en snelheid is een scalaire grootheid. Reisafstanden kunnen negatief zijn, terwijl afstanden alleen positief kunnen zijn.