Inhoud

• Stappen
• Methode 1 van 3: Factoring van een vergelijking
• Methode 2 van 3: De kwadratische formule gebruiken
• Methode 3 van 3: Het vierkant voltooien
• Tips

Een kwadratische vergelijking is een vergelijking waarin de grootste macht van een variabele 2 is. Er zijn drie manieren om kwadratische vergelijkingen op te lossen: ontbind zo mogelijk de kwadratische vergelijking, gebruik de kwadratische formule of voltooi het kwadraat. Wil je weten hoe dit allemaal zit? Lees verder.

Stappen

Methode 1 van 3: Factoring van een vergelijking

1. 1 Voeg alle vergelijkbare elementen toe en breng ze over naar één kant van de vergelijking. Dit zal de eerste stap zijn, wat betekent: ${ weergavestijl x ^ {2}}$ in dit geval moet het positief blijven. Alle waarden optellen of aftrekken ${ weergavestijl x ^ {2}}$, ${ weergavestijl x}$ en constant, alles naar het ene deel overbrengend en 0 latend in het andere. Hier is hoe het te doen:
   • ${ weergavestijl 2x ^ {2} -8x-4 = 3x-x ^ {2}}$
   • ${ weergavestijl 2x ^ {2} + x ^ {2} -8x-3x-4 = 0}$
   • ${ weergavestijl 3x ^ {2} -11x-4 = 0}$
2. 2 Factor de uitdrukking. Om dit te doen, moet u de waarden gebruiken ${ weergavestijl x ^ {2}}$ (3), constante waarden (-4), ze moeten worden vermenigvuldigd en vormen -11. Hier is hoe het te doen:
   • ${ weergavestijl 3x ^ {2}}$ heeft slechts twee mogelijke factoren: ${ weergavestijl 3x}$ en ${ weergavestijl x}$zodat ze tussen haakjes kunnen worden geschreven: ${ displaystyle (3x pm?) (x pm?) = 0}$.
   • Vervolgens, door de factoren van 4 te vervangen, vinden we de combinatie die, wanneer vermenigvuldigd, -11x geeft. Je kunt een combinatie van 4 en 1, of 2 en 2 gebruiken, aangezien beide 4 geven. Onthoud dat de waarden negatief moeten zijn, want we hebben -4.
   • Met vallen en opstaan ​​krijg je de combinatie ${ weergavestijl (3x + 1) (x-4)}$... Bij vermenigvuldiging krijgen we ${ weergavestijl 3x ^ {2} -12x + x-4}$... Door te verbinden ${ weergavestijl -12x}$ en ${ weergavestijl x}$, we krijgen de middellange termijn ${ weergavestijl -11x}$waar we naar op zoek waren. De kwadratische vergelijking is ontbonden.
   • Laten we bijvoorbeeld een ongeschikte combinatie proberen: (${ weergavestijl (3x-2) (x + 2)}$ = ${ weergavestijl 3x ^ {2} + 6x-2x-4}$... Combineren, we krijgen ${ weergavestijl 3x ^ {2} -4x-4}$... Hoewel de factoren -2 en 2 zich vermenigvuldigen tot -4, werkt de middenterm niet, omdat we wilden krijgen ${ weergavestijl -11x}$, maar niet ${ weergavestijl -4x}$.
3. 3 Stel elke uitdrukking tussen haakjes gelijk aan nul (als afzonderlijke vergelijkingen). Zo vinden we twee betekenissen ${ weergavestijl x}$waarvoor de hele vergelijking gelijk is aan nul, ${ weergavestijl (3x + 1) (x-4)}$ = 0. Nu blijft het over om elk van de uitdrukkingen tussen haakjes gelijk te stellen aan nul. Waarom? Het punt is dat het product gelijk is aan nul wanneer ten minste één van de factoren gelijk is aan nul. Zoals ${ weergavestijl (3x + 1) (x-4)}$ nul is, dan is ofwel (3x + 1) of (x - 4) nul. Schrijf op ${ weergavestijl 3x + 1 = 0}$ en ${ weergavestijl x-4 = 0}$.
4. 4 Los elke vergelijking afzonderlijk op. In een kwadratische vergelijking heeft x twee betekenissen. Los de vergelijkingen op en noteer de x-waarden:
   • Los de vergelijking 3x + 1 = 0 . op
     • 3x = -1 ..... door af te trekken
     • 3x / 3 = -1/3 ..... door te delen
     • x = -1/3 ..... na vereenvoudiging
   • Los de vergelijking x - 4 = 0 . op
     • x = 4 ..... door af te trekken
   • x = (-1/3, 4) ..... mogelijke waarden, d.w.z. x = -1/3 of x = 4.
5. 5 Controleer x = -1/3 door deze waarde in te pluggen in (3x + 1) (x - 4) = 0:
   • (3 [-1/3] + 1) ([- 1/3] - 4)? =? 0 ..... door vervanging
   • (-1 + 1) (- 4 1/3)? =? 0 ..... na vereenvoudiging
   • (0) (- 4 1/3) = 0 ..... na vermenigvuldiging
   • 0 = 0, dus x = -1/3 is het juiste antwoord.
6. 6 Controleer x = 4 door deze waarde in te pluggen in (3x + 1) (x - 4) = 0:
   • (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0 ..... door vervanging
   • (13) (4 - 4)? =? 0 ..... na vereenvoudiging
   • (13) (0) = 0 ..... na vermenigvuldiging
   • 0 = 0, dus x = 4 is het juiste antwoord.
   • Beide oplossingen zijn dus correct.

Methode 2 van 3: De kwadratische formule gebruiken

1. 1 Combineer alle termen en noteer aan één kant van de vergelijking. Bewaar de waarde ${ weergavestijl x ^ {2}}$ positief. Schrijf de termen in volgorde van afnemende graden, dus de term ${ weergavestijl x ^ {2}}$ eerst gespeld, dan ${ weergavestijl x}$ en dan een constante:
   • 4x - 5x - 13 = x -5
   • 4x - x - 5x - 13 +5 = 0
   • 3x - 5x - 8 = 0
2. 2 Noteer de formule voor de wortels van een kwadratische vergelijking. De formule ziet er als volgt uit: ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$
3. 3 Bepaal de waarden van a, b en c in een kwadratische vergelijking. Variabele een is de coëfficiënt van de term x, B - lid x, C - constant. Voor vergelijking 3x -5x - 8 = 0, a = 3, b = -5 en c = -8. Schrijf het op.
4. 4 Vul de waarden voor a, b en c in de vergelijking in. Als u de waarden van de drie variabelen kent, kunt u ze als volgt in de vergelijking opnemen:
   • {-b +/- (b - 4ac)} / 2
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - 4(3)(-8))}/2(3) =
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3)
5. 5 Tel het op. Vervang de waarden, vereenvoudig de voor- en nadelen en vermenigvuldig of kwadratuur de resterende termen:
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3) =
   • {5 +/-√(25 + 96)}/6
   • {5 +/-√(121)}/6
6. 6 Vereenvoudig de vierkantswortel. Als de vierkantswortel een vierkant is, krijg je een geheel getal. Zo niet, vereenvoudig het dan tot de eenvoudigste wortelwaarde. Als het getal negatief is, en je weet zeker dat het negatief moet zijn, dan zullen de wortels complex zijn. In dit voorbeeld √ (121) = 11. Je kunt schrijven dat x = (5 +/- 11) / 6.
7. 7 Zoek positieve en negatieve oplossingen. Als u het vierkantswortelteken hebt verwijderd, kunt u doorgaan totdat u positieve en negatieve x-waarden vindt. Als je (5 +/- 11) / 6 hebt, kun je schrijven:
   • (5 + 11)/6
   • (5 - 11)/6
8. 8 Vind positieve en negatieve waarden. Tel maar:
   • (5 + 11)/6 = 16/6
   • (5-11)/6 = -6/6
9. 9 Makkelijker maken. Om dit te doen, deelt u beide eenvoudig door de grootste gemene deler. Deel de eerste breuk door 2, de tweede door 6, x wordt gevonden.
   • 16/6 = 8/3
   • -6/6 = -1
   • x = (-1, 8/3)

Methode 3 van 3: Het vierkant voltooien

1. 1 Verplaats alle termen naar één kant van de vergelijking.een of x moet positief zijn. Dit wordt als volgt gedaan:
   • 2x - 9 = 12x =
   • 2x - 12x - 9 = 0
     • In deze vergelijking een: 2, B: -12,C: -9.
2. 2 Lid overdragen C (permanente) naar de andere kant. Een constante is een term in een vergelijking die alleen een numerieke waarde bevat, zonder variabelen.Verplaats het naar de rechterkant:
   • 2x - 12x - 9 = 0
   • 2x - 12x = 9
3. 3 Deel beide delen per factor een of x. Als x geen coëfficiënt heeft, dan is deze gelijk aan één en kan deze stap worden overgeslagen. In ons voorbeeld delen we alle leden door 2:
   • 2x / 2 - 12x / 2 = 9/2 =
   • x - 6x = 9/2
4. 4 Verdeling B door 2, vierkant en voeg aan beide kanten toe. In ons voorbeeld B is gelijk aan -6:
   • -6/2 = -3 =
   • (-3) = 9 =
   • x - 6x + 9 = 9/2 + 9
5. 5 Vereenvoudig beide kanten. Maak een vierkant met de termen aan de linkerkant om (x-3) (x-3) of (x-3) te krijgen. Voeg de termen aan de rechterkant toe om 9/2 + 9 of 9/2 + 18/2 te maken, wat 27/2 is.
6. 6 Extraheer de vierkantswortel van beide zijden. De vierkantswortel van (x-3) is eenvoudig (x-3). De vierkantswortel van 27/2 kan worden geschreven als ± √ (27/2). Dus x - 3 = ± √ (27/2).
7. 7 Vereenvoudig radicale expressie en vind x. Om ± √ (27/2) te vereenvoudigen, zoek je het perfecte vierkant in de getallen 27 en 2, of hun factoren. In 27 is er een volledig kwadraat van 9, want 9 x 3 = 27. Om 9 af te leiden van het wortelteken, neem je de wortel ervan en trek je 3 af van het wortelteken. Laat 3 staan ​​in de tellers van de breuk onder het wortelteken, aangezien deze factor niet kan worden geëxtraheerd, en laat ook 2 onderaan staan. Verplaats vervolgens de constante 3 van de linkerkant van de vergelijking naar de rechterkant en noteer de twee oplossingen voor x:
   • x = 3 + (√6) / 2
   • x = 3 - (√6) / 2)

Tips

• Als het getal onder het wortelteken geen volledig vierkant is, worden de laatste paar stappen iets anders uitgevoerd. Hier is een voorbeeld:
• Zoals je kunt zien, is het wortelteken niet verdwenen. Op deze manier kunnen de termen in de tellers niet worden gecombineerd. Dan heeft het geen zin om de plus of min te splitsen. In plaats daarvan verdelen we alle gemeenschappelijke factoren - maar enkel en alleen als de gemeenschappelijke factor voor de constante en wortel coëfficiënt.