Inhoud

• Stappen
• Deel 1 van 2: De basis
• Deel 2 van 2: Uitgebreide matrixtransformatie om SLAE's op te lossen
• Tips

Een stelsel vergelijkingen is een verzameling van twee of meer vergelijkingen met een gemeenschappelijke verzameling onbekenden en dus een gemeenschappelijke oplossing. De grafiek van het stelsel lineaire vergelijkingen is twee rechte lijnen, en de oplossing van het stelsel is het snijpunt van deze rechte lijnen. Om dergelijke stelsels van lineaire vergelijkingen op te lossen, is het handig en handig om matrices te gebruiken.

Stappen

Deel 1 van 2: De basis

1. 1 Terminologie. Stelsels lineaire vergelijkingen zijn samengesteld uit verschillende componenten. Een variabele wordt aangeduid met een alfabetisch teken (meestal x of y) en betekent een getal dat u nog niet kent en moet zoeken. Een constante is een bepaald getal waarvan de waarde niet verandert.De coëfficiënt is het getal voor de variabele, dat wil zeggen het getal waarmee de variabele wordt vermenigvuldigd.
   • Voor een lineaire vergelijking zijn bijvoorbeeld 2x + 4y = 8, x en y variabelen, 8 is constant en getallen 2 en 4 zijn coëfficiënten.
2. 2 Vorm voor een stelsel lineaire vergelijkingen. Een stelsel van lineaire algebraïsche vergelijkingen (SLAE) met twee variabelen kan als volgt worden geschreven: ax + by = p, cx + dy = q. Alle constanten (p, q) kunnen nul zijn, maar elk van de vergelijkingen moet ten minste één variabele (x, y) bevatten.
3. 3 Matrix-uitdrukkingen. Elke SLAE kan in matrixvorm worden geschreven en vervolgens, met behulp van de algebraïsche eigenschappen van matrices, worden opgelost. Bij het schrijven van een stelsel vergelijkingen in matrixvorm stelt A de coëfficiënten van de matrix voor, C staat voor constante matrices en X staat voor een onbekende matrix.
   • De bovenstaande SLAE kan bijvoorbeeld worden herschreven in de volgende matrixvorm: A x X = C.
4. 4 Uitgebreide matrix. De uitgebreide matrix wordt verkregen door de matrix van vrije termen (constanten) naar de linkerkant over te brengen. Als je twee matrices hebt, A en C, dan ziet de uitgevouwen matrix er als volgt uit:
   • Bijvoorbeeld voor het volgende stelsel lineaire vergelijkingen:
     2x + 4j = 8
     x + y = 2
     De uitgebreide matrix is ​​2x3 en ziet er als volgt uit:

Deel 2 van 2: Uitgebreide matrixtransformatie om SLAE's op te lossen

1. 1 Elementaire operaties. U kunt bepaalde bewerkingen op een matrix uitvoeren, waardoor u een matrix krijgt die equivalent is aan de oorspronkelijke. Dergelijke bewerkingen worden elementair genoemd. Om bijvoorbeeld een 2x3-matrix op te lossen, moet u rijbewerkingen uitvoeren om de matrix in een driehoekige vorm te brengen. Dergelijke operaties kunnen zijn:
   • permutatie van twee lijnen.
   • een string vermenigvuldigen met een getal dat niet nul is.
   • een string vermenigvuldigen en bij een andere optellen.
2. 2 Vermenigvuldiging van de tweede regel met een getal dat niet nul is. Als u nul op de tweede regel wilt, kunt u de regel vermenigvuldigen om dit mogelijk te maken.
   • Als u bijvoorbeeld een matrix heeft zoals deze:
     
     
     Je kunt de eerste regel behouden en gebruiken om nul op de tweede regel te krijgen. Om dit te doen, moet u eerst de tweede regel vermenigvuldigen met 2:
3. 3 Vermenigvuldig opnieuw. Om nul voor de eerste rij te krijgen, moet u mogelijk opnieuw vermenigvuldigen met vergelijkbare manipulaties.
   • In het bovenstaande voorbeeld moet je de tweede regel vermenigvuldigen met -1:
     
     
     Na vermenigvuldiging ziet de matrix er als volgt uit:
4. 4 Voeg de eerste regel toe aan de tweede. Voeg de rijen toe om een ​​nul te krijgen in plaats van de eerste kolom en de tweede rij.
   • Voeg in ons voorbeeld beide regels toe om het volgende te krijgen:
5. 5 Schrijf een nieuw stelsel lineaire vergelijkingen voor een driehoeksmatrix. Als je eenmaal de driehoekige matrix hebt, kun je teruggaan naar SLAE. De eerste kolom van de matrix komt overeen met de onbekende variabele x, en de tweede komt overeen met de onbekende variabele y. De derde kolom komt overeen met het snijpunt van de vergelijking.
   • Voor ons voorbeeld zal het nieuwe systeem van lineaire vergelijkingen de vorm aannemen:
6. 6 Los de vergelijking voor een van de variabelen op. Bepaal in de nieuwe SLAE welke variabele het gemakkelijkst te vinden is en los de vergelijking op.
   • In ons voorbeeld is het handiger om vanaf het einde op te lossen, dat wil zeggen van de laatste vergelijking naar de eerste, van onder naar boven. Uit de tweede vergelijking kunnen we gemakkelijk een oplossing voor y vinden, omdat we x hebben weggelaten, dus y = 2.
7. 7 Vind de tweede onbekende door substitutiemethode. Zodra u een van de variabelen hebt gevonden, kunt u deze in de tweede vergelijking opnemen om de tweede variabele te vinden.
   • Vervang in ons voorbeeld y door 2 in de eerste vergelijking om de onbekende x te vinden:

Tips

• Matrixelementen worden gewoonlijk scalairen genoemd.
• Om een ​​2x3 matrix op te lossen, moet je elementaire rijbewerkingen uitvoeren. U kunt deze bewerkingen niet uitvoeren op kolommen.