Inhoud

• Stappen
• Advies

De stelling van Pythagoras (Pythagore) is een veel gebruikte wiskundige stelling en kent vele praktische toepassingen. De stelling stelt dat in elke rechthoekige driehoek de som van de vierkanten van de twee rechterzijden gelijk is aan het kwadraat van de hypotenusa. Met andere woorden, in een rechthoekige driehoek met loodrechte zijden van lengte a en b en hypotenusa lengte c, hebben we altijd een + b = c. De stelling van Pythagoras is een van de belangrijkste pijlers van de basisgeometrie. Er zijn talloze praktische toepassingen, zoals het vinden van de afstand tussen twee punten op een coördinatenvlak.

Stappen

Methode 1 van 2: Zoek de zijden van de rechthoekige driehoek

1. 

   Zorg ervoor dat uw driehoek een rechthoekige driehoek is. De stelling van Pythagoras is alleen van toepassing op rechthoekige driehoeken. Zorg er dus voordat u verder gaat voor dat uw driehoek voldoet aan de criteria van een rechthoekige driehoek. Gelukkig is er maar één criterium: om een ​​rechthoekige driehoek te zijn, moet deze een hoek van 90 graden hebben.
   • Als visuele indicatie wordt de rechte hoek meestal gemarkeerd met een klein vierkantje, maar niet met een cirkel "curve". Zoek naar dit speciale teken in de hoek van de driehoek.

2. 

   
   
   Noem de driehoek zijden a, b en c. In de stelling van Pythagoras zijn a en b rechthoekige zijden, c is hypotenusa - de langste zijde is altijd tegenovergestelde rechte hoeken. Dus noem om te beginnen de korte zijden van de driehoek a en b (het maakt niet uit welke zijde 'a' of 'b' is), en noem de hypotenusa c.

3. 

   
   
   Bepaal welke kant van de driehoek je moet vinden. De stelling van Pythagoras stelt wiskundigen in staat om de lengte van elk te vinden een Welke kant van de driehoek goed is, zolang ze de lengte kennen de andere twee randen. Bepaal rand met onbekende lengte - een, b, en / of c. Als slechts één rand onbekend is, kunt u beginnen.
   • Stel dat we weten dat de hypotenusa lengte 5 heeft en een van zijn zijden lengte 3 heeft, maar we weten niet wat de derde zijde is. In dit geval zullen we het probleem van het vinden van de derde zijde oplossen, omdat we de lengtes van de andere twee randen al kennen. We zullen dit voorbeeld gebruiken in de volgende stappen.
   • Als de length twee De rand is onbekend, u moet de lengte van nog een rand bepalen om de stelling van Pythagoras te gebruiken. De basis goniometrische functies kunnen helpen als u weet hoe u een van de scherpe hoeken van de driehoek moet meten.

4. 

   
   
   Vervang twee bekende waarden in de vergelijking. Steek de lengtes van de zijden van je driehoek in de vergelijking a + b = c. Onthoud dat a en b rechte hoeken zijn en c de hypotenusa is.
   • In het bovenstaande voorbeeld kennen we de lengte van een zijde en hypotenusa (wat 3 en 5 is), dus de vergelijking zal zijn 3² + b² = 5²

5. 

   Kwadraat. Om een ​​vergelijking op te lossen, begint u met het kwadrateren van elk van de bekende randen. Als u het gemakkelijker vindt, kunt u de lengtes van de zijden exponentieel laten en ze later vierkant maken.
   • In dit voorbeeld zullen we 3 en 5 kwadrateren om het te krijgen 9 en 25. De vergelijking die kan worden herschreven is 9 + b² = 25.

6. 

   Splits de onbekende variabele naar één kant van de vergelijking. Gebruik indien nodig basisalgebra om de onbekende variabele naast de vergelijking en twee kwadraatgetallen naast de vergelijking te plaatsen. Als je de hypotenusa vindt, bevindt c zich al aan een aparte kant, dus je hoeft niets te doen om hem te scheiden.
   • In dit voorbeeld is de huidige vergelijking 9 + b² = 25. Om b² te delen, trekt u beide zijden van de vergelijking af voor 9. De resulterende vergelijking is b² = 16.

7. 

   Verkrijg de vierkantswortel van beide zijden van de vergelijking. Je hebt nu een kwadraatvariabele aan de ene kant van de vergelijking en een getal aan de andere. Neem gewoon de vierkantswortel van beide zijden om de onbekende zijdelengte te vinden.
   • In dit voorbeeld is b² = 16, waarbij de vierkantswortel van beide zijden b = 4 wordt gegeven. De lengte van de te vinden zijde is dus 4.

8. 

   Gebruik de stelling van Pythagoras om de zijde van een echte rechthoekige driehoek te vinden. De reden dat deze stelling tegenwoordig op grote schaal wordt gebruikt, is dat hij van toepassing is op een groot aantal praktische situaties. Leer hoe u een rechthoekige driehoek in het leven kunt herkennen - elke situatie waarin twee objecten of twee lijnen elkaar in een rechte hoek snijden en het derde object of de derde lijn die rechte hoek snijdt, kunt u Jhana gebruiken. De Pythagoras-methode om de lengte van een van de zijden te vinden, gegeven de lengte van de andere twee.
   • Neem een ​​voorbeeld in de praktijk. Een ladder leunt tegen het gebouw. De trap is 5 meter van de voet van de muur. Lift tot 20 meter hoog van het gebouw. Hoe lang is de ladder?
     • De trap 5 m van de voet van de muur en 20 m van de bouwmuur vertellen ons de lengtes van de zijden van de driehoek. Omdat de muur en de grond elkaar in een rechte hoek snijden en de ladder de muur diagonaal opricht, kunnen we het visualiseren als een rechthoekige driehoek met zijlengte a = 5 en b = 20. De ladder is hypotenusa, dus c weet het niet. Laten we de stelling van Pythagoras gebruiken:
       • a² + b² = c²
       • (5) ² + (20) ² = c²
       • 25 + 400 = c²
       • 425 = c²
       • Vierkantswortel van (425) = c
       • c = 20,6. De geschatte lengte van de ladder is 20,6 m.
   advertentie

Methode 2 van 2: Bereken de afstand tussen twee punten in het X-Y-vlak

1. 

   Bepaal twee punten in het X-Y-vlak. De stelling van Pythagoras kan gemakkelijk worden gebruikt om de lineaire afstand tussen twee punten in een X-Y-vlak te berekenen. Het enige dat u hoeft te weten, zijn de x- en y-coördinaten van twee willekeurige punten. Meestal worden deze coördinaten in paren geschreven in de volgorde van coördinaten (x, y).
   • Om de afstand tussen deze twee punten te vinden, behandelen we elk punt als een van de scherpe hoeken van de rechthoekige driehoek. Op deze manier is het gemakkelijk om de zijdelengte a en b te vinden, en vervolgens zijde c of exact de afstand tussen twee punten te berekenen.

2. 

   Teken twee punten op de grafiek. In een normaal X-Y-vlak is voor elk punt (x, y) x de coördinaat op de horizontale as en y de coördinaat op de verticale as. U kunt afstanden tussen twee punten vinden zonder ze in de grafiek uit te zetten, maar door middel van grafieken kunt u beter zien.

3. 

   Zoek de lengtes van de rechthoekige zijden van de driehoek. Gebruik de twee punten die zijn opgegeven als de hoeken van de driehoek naast de hypotenusa en zoek de zijden a en b van de driehoek. U kunt dit visueel doen in een grafiek, of door de formule | x te gebruiken₁ - x₂| voor horizontale randen en | y₁ - ja₂| voor de verticale rand, waarbij (x₁, y₁) is het eerste punt en (x₂, y₂) is het tweede punt.
   • Stel dat twee punten (6,1) en (3,5) zijn. De lengte van de horizontale zijde van de driehoek is:
     • | x₁ - x₂|
     • |3 - 6|
     • | -3 | = 3
   • De verticale randlengte is:
     • | y₁ - ja₂|
     • |1 - 5|
     • | -4 | = 4
   • We kunnen dus zeggen dat in deze rechthoekige driehoek zijde a = 3 en zijde b = 4.

4. 

   Gebruik de stelling van Pythagoras om de vergelijking voor hypotenusa op te lossen. De afstand tussen twee gegeven punten is de hypotenusa van een driehoek met twee rechthoekige zijden zoals we zojuist hebben bepaald. Gebruik de gebruikelijke stelling van Pythagoras om de hypotenusa te vinden, laat a de lengte zijn van de eerste zijde en b de lengte van de tweede zijde.
   • In het voorbeeld met punten (3,5) en (6,1) zijn de lengtes van de rechte hoeken 3 en 4, dus berekenen we de hypotenusalengte als volgt:

     • (3) ² + (4) ² = c²

       c = vierkantswortel uit (9 + 16)

       c = vierkantswortel van (25)

       c = 5. Afstand tussen twee punten (3,5) en (6,1) is 5.

   advertentie

Advies

• De hypotenusa is altijd:
  • snijdt rechte hoeken (kruis geen rechte hoeken)
  • is de langste zijde van de rechthoekige driehoek
  • vertegenwoordigd door c in de stelling van Pythagoras
• Controleer altijd de resultaten.
• Nog een test - de langste kant staat tegenover de grootste en de kortste kant de kleinste.
• In een rechthoekige driehoek ken je de derde zijde pas als je de lengte van de andere twee zijden kent.
• Als de driehoek geen rechthoekige driehoek is, heeft u naast de zijlengtes meer informatie nodig.
• Om exacte waarden aan a, b en c toe te kennen, moet u de driehoek in een tekenvorm weergeven, vooral voor logica of woordproblemen.
• Als je alleen eenzijdige metingen hebt, kun je de stelling van Pythagoras niet gebruiken. Gebruik in plaats daarvan trigonometrische functies (sin, cos, tan) of een 30-60-90 / 45-45-90 ratio.